סוגרי פואסון

סוגרי פואסון הוא אופרטור לינארי הפועל על שתי פונקציות:

$\{u,v{\}}_{q,p}=\frac{\partial u}{\partial q}\frac{\partial v}{\partial p}-\frac{\partial v}{\partial q}\frac{\partial u}{\partial p}$

כאשר $u(q,p),v(q,p)$ פונקציות במשתנים $p,q$ .

האופרטור נמצא בשימוש נרחב במכניקה אנליטית.

סוגרי פואסון במספר משתנים

יהיו $(q_i,p_j)$ קואורדינטות קנוניות במרחב הפאזה. יהיו $f(p_i,q_i,t),g(p_i,q_i,t)$ שתי פונקציות גזירות בקואורדינטות הקנוניות. אזי סוגרי פואסון מוגדרים להיות:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^N[\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}]$

תכונות אלגבריות

• לינאריות

$\{\lambda u,\sigma v{\}}_{q,p}=\lambda \sigma \{u,v{\}}_{q,p}$

• אנטי-סימטריות

$\{u,v{\}}_{q,p}=-\{v,u{\}}_{q,p}$

• מקיים את כלל לייבניץ לנגזרות

$\{f,gh{\}}_{q,p}=\{f,g{\}}_{q,p}h+g\{f,h{\}}_{q,p}$

• זהות יעקבי

$\{u,\{v,w\}{\}}_{q,p}+\{w,\{u,v\}{\}}_{q,p}+\{v,\{w,u\}{\}}_{q,p}=0$

שימושים בפיזיקה

בפיזיקה, משוואות הפורמליזם ההמילטוניאני מנוסחות בעזרת סוגרי פואסון. בעזרת סוגרי הפואסון ניתן להגדיר את המשתנים הקנוניים של המערכת.

במכניקת הקוונטים, הקומוטטור מקיים את אותן תכונות אלגבריות כמו סוגרי הפואסון, ומשוואות התנועה מתקבלות על ידי החלפת סוגרי הפואסון במכניקה המילטוניאנית בקומוטטורים.