נוסחת השרוך

במתמטיקה, נוסחת השרוך (נקרא גם אלגוריתם השרוך או נוסחת גאוס), היא נוסחה לחישוב שטח של מצולע במערכת צירים קרטזית על בסיס קודקודיו. שמה של הנוסחה נובע מדרך החישוב שלה על ידי מטריצות (יפורט בהמשך). המשפט נובע ממשפט גרין, אך ניתן לחשב אותו על ידי חלוקת המצולע למשולשים וחישוב הצלע של כל אחד מהם. הנוסחה היא לחישוב שטח של מצולע כלשהו, לא משנה או הוא מצולע קמור או לא.

הנוסחה

שטחו של מצולע בעל $n$ קודקודים מהצורה $(x_i,y_i)$ הוא:

$\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i{y}_{i+1}+x_n{y}_1-\sum _{i=1}^{n-1}{x}_{i+1}{y}_i-x_1{y}_n|\\ & =\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+\cdots +x_{n-1}{y}_n+x_n{y}_1-x_2{y}_1-x_3{y}_2-\cdots -x_n{y}_{n-1}-x_1{y}_n|\\ & =\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n{x}_i(y_{i+1}-y_{i-1})|=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n{y}_i(x_{i+1}-x_{i-1})|=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)|=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n\det \left(\begin{array}{cc}{x}_i& x_{i+1}\\ y_i& y_{i+1}\end{array}\right)|\end{array}$

כאשר $x_{n+1}=x_1,x_0=x_n,y_{n+1}=y_1,y_0=y_n$ .

דוגמאות

דיאגרמה

משולש: $A_{\text{tri.}}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)|$

מרובע: $A_{\text{quad.}}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_4+x_4{y}_1-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_4{y}_3+x_1{y}_4)|$

דוגמה ספציפית

שטח הצורה שקדקודיה הם $(3,4),(5,11),(12,8),(9,5),(5,6)$ (בתמונה משמאל) היא:

$A=\frac{1}{2}|3\cdot 11+5\cdot 8+12\cdot 5+9\cdot 6+5\cdot 4-(4\cdot 5+11\cdot 12+8\cdot 9+5\cdot 5+6\cdot 3)|=\frac{60}{2}=30$

מקור השם

מקור השם הוא בחישוב השטח על ידי מטריצה. למשל, ניקח את הצורה שקדקודיה הם $(2,4),(1,2),(3,-8)$ , ניתן לרשום את המצולע בתור המטריצה הבאה:

$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& -8\\ 1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$

(1) אלכסונים ימניים		(2) אלכסונים שמאליים

נחבר את מכפלות האלכסונים הימניים: $2\cdot (-8)+3\cdot 2+1\cdot 4=-6$

נחסר מזה את סכום מכפלות האלכסונים השמאליים: $4\cdot 3+(-8)\cdot 1+2\cdot 2=8$

נוציא ערך מוחלט: $|-6-8|=14$ , נקבל את השטח, מחצית הערך המוחלט, שהוא 7.