מטריצה אקראית

בתורת ההסתברות, מטריצה אקראית היא מטריצה שרכיביה הם משתנים מקריים בעלי התפלגות נתונה. מטריצות אקראיות משמשות מודל לאין ספור מערכות פיזיקליות חשובות, כמו קיבול החום של גבישים או ספקטרום הפליטה של גרעין האטום. לתורת המטריצות האקראיות יש שימושים בניתוח מערכות כאוטיות, ובכאוס קוונטי, כמו גם קשרים להשערת רימן. מלבד הסתברות ותחומים שונים בפיזיקה, יש למטריצות אקראיות השלכות גם בתורת האופרטורים ובתורת המספרים האנליטית.

התוצאה הבסיסית בתורת המטריצות האקראיות היא "חוק מחצית-העיגול של Wiegner", שלפיו לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית אקראית (כשלהתפלגות הרכיבים יש מומנטים מכל סדר) יש התפלגות שצורתה כחצי עיגול: אם בוחרים ערך עצמי אקראי $\lambda$ של מטריצה מסדר n, אז $P(\lambda <t\sqrt{n})=\underset{-2}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{2\pi }\sqrt{4-x^2}dx$. הערכים העצמיים תלויים זה בזה, וההפרשים בין ערכים עצמיים סמוכים, שהם הרבה יותר קשים לניתוח, מצייתים להתפלגות ויגנר-דייסון.

מחקר המטריצה הארקאית החל על ידי ג'ון וישהארט שעסק באנליזת מידע והמשיך אצל יוג'ין ויגנר במסגרת מחקרו של גרעין האטום באטומים כבדים. בראשית שנות ה-60 של המאה ה-20 פותחה תורה מתמטית, עצמאית משימוש ספציפי, של מטריצות אקראיות. אחד החוקרים הנודעים בתחום הוא הישראלי, עפר זיתוני.

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.