השערת ברטראן

השערת ברטראן היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי $n>3$ קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע הפתוח $(n,2n-2)$ .

ברטראן אף וידא את תקפותה לכל $n<3\cdot 10^6$ . למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919 הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו, הנעזרת בפונקציית צ'בישב ובמקדמים בינומיים.

נימוק היוריסטי

ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל $\epsilon >0$ אם $n$ גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע $(n,n+\epsilon n)$ . הסיבה לכך היא שלפי המשפט, כמות המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-$x$ הוא בקירוב $\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)}$ .

המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל:

$\pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)\sim \frac{(1+\epsilon )n}{\ln (1+\epsilon )n}-\frac{n}{\ln (n)}=\frac{n}{\ln (n)}(\frac{1+\epsilon }{\ln (1+\epsilon )\frac{n}{\ln (n)}}-1)\sim \frac{\epsilon n}{\ln (n)}$

כאשר $n$ שואף לאינסוף, ההפרש – שהוא מספר הראשוניים בקטע – שואף לאינסוף.

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.