פונקציית מדרגה

פונקציית מדרגה. פה הערך ב-0 מוגדר להיות 0.5

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך 1 עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $[0,\mathrm{\infty })$ :

$\theta (x)=H(x)=u(x)=1_{[0,\mathrm{\infty })}(x)=\{\begin{array}{ll}0& :x<0\\ 1& :x\ge 0\end{array}$

(הערך ב-$x=0$ מוגדר לעיתים אחרת, למשל $H(0)=\frac{1}{2}$).

תכונות הפונקציה:

• הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-$x=0$ .
• הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-$x=0$ .
• הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
• באופן לא פורמלי, "הפונקציית הנגזרת" של $H$ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך 0, פרט לנקודה $x=0$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא כי $H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (s)ds$ פרט אולי ל-$x=0$ .
• הפונקציה הקדומה של $H$ היא $\text{Ramp}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(t)dt=x\cdot H(x)$ , שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.

ראו גם

• פונקציית מדרגות
• פונקציית היחידה