משפט הממדים

משפט הממדים הוא משפט באלגברה לינארית העוסק בקשר בין ממדים של מרחבים וקטוריים שונים. לפי המשפט, סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה למימד הסכום שלהם. בצורה מתמטית:

$\dim (A)+\dim (B)-\dim (A\cap B)=\dim (A+B)$

יש לציין כי משפט הממדים המובא בערך זה דן בקשר בין ממדים של מרחבים וקטוריים שונים, בעוד שקיים גם משפט ממדים עבור העתקות לינאריות, העוסק בקשר בין ממד גרעין ותמונת העתקה לינארית לתחום ההעתקה הלינארית.

הוכחה

יהיו W ו-U תתי מרחב (ת"מ) של V מרחב וקטורי (מ"ו) נוצר סופית.

נניח כי $\dim (A\cap B)\ne \{0\}$ וניקח בסיס לחיתוך $\{v_1,v_2...v_k\}$ (ההוכחה עובדת גם עבור $\dim (A\cap B)=\{0\}$)

נשלים אותו לבסיס של U $\{v_1,v_2...v_k,u_1...u_l\}$

נשלים אותו לבסיס של W $\{v_1,v_2...v_k,w_1...w_m\}$

כעת נשאר להוכיח: $\dim (U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m$

מספיק להראות: $\{v_1...v_k,u_1...u_l,w_1...w_m\}$ בסיס ל U+W

נראה כי פורשת: יהי $v\in U+W$, קיימים $u_0\in U$ ו $w_0\in W$ כך ש $v=u_0+w_0$ הקבוצה $\{v_1,v_2...v_k,u_1...u_l\}$ היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים ${\alpha }_1...{\alpha }_k,{\beta }_1...{\beta }_l$ כך ש:

$u_0=\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+$

באופן דומה בעבור W

$w_0=\sum _{i=1}^k{\gamma }_i{v}_i+\sum _{i=1}^m{\delta }_i{w}_i$

$u_0+w_0=\sum _{i=1}^k({\alpha }_i+{\gamma }_i)v_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i+\sum _{i=1}^m{\delta }_i{w}_i$

לכן הקבוצה פורשת.

נראה כי הקבוצה בת"ל:

${\alpha }_1...{\alpha }_k,{\beta }_1...{\beta }_l{\gamma }_1...{\gamma }_m$ סקלרים כך ש:

$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i+\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i=0$

צ"ל שכל הסקלרים שווים לאפס. נעביר אגפים:

$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i=-\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i$

קיבלנו וקטור ב$U\cap W$ ולכן את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף לינארי של $\{v_1,v_2...v_k\}$ בסיס ל$U\cap W$

קיימים ${\delta }_1...{\delta }_k$ כך שמתקיים:

$\sum _{i=1}^k{\delta }_i{v}_i=-\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i$

$\sum _{i=1}^k{\delta }_i{v}_i+\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i=0$

קיבלנו צירוף לינארי של איברי W ולכן בת"ל ובפרט בעבור ${\gamma }_i=0,1\le i\le m$ קיבלנו צירוף לינארי של איברי U

$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i=0$

ולכן הקבוצה בת"ל.

לכן בפרט, ${\beta }_i=0,1\le i\le l$ ${\alpha }_i=0,1\le i\le k$

מ.ש.ל ■