תלות ליניארית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף תלות לינארית)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה לינארית, קבוצת וקטורים במרחב וקטורי תלויה לינארית אם אפשר להציג אחד מן הווקטורים שלה כצירוף לינארי של וקטורים אחרים בקבוצה.

למשל, שלושת הווקטורים ב־ בלתי־תלויים לינארית, אולם הם וקטורים תלויים לינארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

הגדרה

יהי מרחב לינארי מעל שדה . אם וקטורים ב־ , נאמר שהם תלויים לינארית מעל אם ישנם סקלרים (לא כולם אפסים) עבורם

האפס שבאגף ימין הוא וקטור האפס של ולא סקלר האפס של . אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי בלתי־תלויים לינארית, או בקיצור בת"ל.

מכאן נובע כי הווקטורים הם בלתי תלויים לינארית אם ורק אם מן השוויון נובע בהכרח כי לכל .

המרחב המוקרן על ידי תלות לינארית

תלות לינארית בין וקטורים היא וקטור עם סקלרים (לא כולם אפסים) עבורם

אם קיימת תלות כזו, הווקטורים הם תלויים לינארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות לינארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות לינארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הלינאריות בין הווקטורים יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת־מרחב של .

דוגמאות

דוגמה א'

הווקטורים ב־ הם בלתי־תלויים לינארית.

הוכחה: יהיו שני מספרים ממשיים כך שמתקיים

נמצא כי .

דוגמה ב'

יהי . נסתכל על הווקטורים הבאים ב־ :

אז בלתי־תלויים לינארית.

הוכחה:

נתבונן בקבוצת סקלרים עבורם מתקיים

מתקיים לכל .

ראו גם

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0