מטוטלת פוקו

ערך זה עוסק בניסוי פיזיקלי. אם התכוונתם לספרו של אומברטו אקו, ראו המטוטלת של פוקו (ספר).

הנפשה של מטוטלת פוקו המדגימה את סיבוב כדור הארץ על צירו

אנימציה של מטוטלת פוקו. הקו הירוק מתאר את מסלול המטוטלת על הארץ, והקו הכחול מתאר את תנועת המשקולת במערכת המסתובבת יחד עם סיבוב מישור התנועה

מטוטלת פוּקוֹ או המטוטלת של פוקו היתה מרכיב בניסוי שערך לאון פוקו בפריז ובו הדגים באמצעותה שכדור הארץ חג סביב צירו, ואת פעולת כוח קוריוליס – כוח מדומה הנובע מהימצאותנו במערכת מסתובבת, שהיא מערכת לא אינרציאלית.

סיבוב כדור הארץ סביב צירו גורם למישור התנודה של המטוטלת להסתובב באיטיות, במהירות זוויתית השווה למכפלת מהירות סיבוב כדור־הארץ בסינוס קו הרוחב של המקום בו מתבצע הסיבוב: בקטבים מישור התנודה ישלים סיבוב שלם ב־24 שעות, בפריז כ־32 שעות, ואילו בקו המשווה האפקט לא יורגש כלל. בישראל (קו רוחב 32°) המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.

בשנת 1851 ערך פוקו את הניסוי עם המטוטלת בפני הציבור בפנתיאון בפריז כאשר השתמש בכבל אשר אורכו 67 מטרים ואל קצהו מחובר כדור ברזל. על ניסוי זה ועל הגיית הגירוסקופ זכה פוקו לקבל את מדליית קופלי מהחברה המלכותית הבריטית בשנת 1855.

מטוטלות פוקו פזורות ברחבי העולם בעיקר במוזיאונים ובאוניברסיטאות. בישראל ניתן לצפות במטוטלת פוקו במספר מקומות, בהם מדעטק בחיפה, בבניין פרלמן ובגן המדע של מכון ויצמן למדע, בבניין המחלקה לפיזיקה באוניברסיטת בן-גוריון ובמצפה הכוכבים בגבעתיים.

ניתוח מתמטי

כאמור, סיבוב מישור התנודה של המטוטלת מוסבר על ידי כוח קוריוליס. בקירוב אל הזוויות הקטנות, המטוטלת מבצעת תנועה הרמונית במישור האופקי. תחת הקירוב, הכוח המחזיר שמפעילה הכבידה נתון על ידי

{\vec {F}}^{g}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}

כאשר $\omega ={\sqrt {\dfrac {g}{\ell }}}$ התדירות הזוויתית של תנודת המטוטלת. על מנת לחשב את השפעת כוח קוריוליס, יש לחשב את ההיטל שלו על המישור האופקי (תחת הקירוב, המטוטלת מוגבלת לתנועה במישור האופקי). כוח קוריוליס נתון על ידי

{\vec {F}}^{c}=-2m{\vec {\Omega }}\times {\dot {\vec {r}}}

כאשר $\Omega$ המהירות הזוויתית של כדור הארץ. לשם נוחות, נגדיר כי ציר X מכוון מזרחה וציר Y מכוון צפונה.

את רכיב המהירות הזוויתית $\Omega$ יש לפרק למערכת הצירים המקומית שבה עורכים את הניסוי. כלומר

{\begin{aligned}{\vec {\omega }}=\Omega {\begin{pmatrix}0\\\cos(\lambda )\\\sin(\lambda )\end{pmatrix}},\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{e}\\v_{n}\\v_{u}\end{pmatrix}}\ \\{\vec {a}}_{C}=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}=2\Omega {\begin{pmatrix}v_{n}\sin(\lambda )-v_{u}\cos(\lambda )\\-v_{e}\sin(\lambda )\\v_{e}\cos(\lambda )\end{pmatrix}}\end{aligned}}

$v_{e}$ המהירות בכיוון מזרח מקומי
$v_{n}$ המהירות בכיוון הצפון המקומי
$v_{u}$ המהירות כלפי הקרקע

כעת מניחים כי המהירות האנכית זניחה (מטוטלת בזויות קטנות), ואת המהירויות הנותרות רושמים כנגזרת של מיקום

{\dfrac {dy}{dt}}=v_{n},{\dfrac {dx}{dt}}=v_{e}

כעת רושמים את הבטוי לכוח בכיוון מזרח וצפון, על ידי מכפלת התאוצות בכיוונים אלה במסת הגוף m

{\begin{aligned}F_{x}^{c}=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin(\lambda )\\F_{y}^{c}=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin(\lambda )\end{aligned}}

כאשר $\lambda$ קו הרוחב של הניסוי. בשקלול עם הכוח המחזיר והחוק השני של ניוטון, נקבל את מערכת המשוואות:

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}sin(\lambda )\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}sin(\lambda )\end{array}}\right.$

זוהי מערכת משוואות מצומדות, והיא קשה לפתרון ישיר. נגדיר משתנה מרוכב חדש $z=x+iy$ , ולאחר הכפלת המשוואה התחתונה ב $\ i$ וחיבור המשוואות, תתקבל המשוואה הפשוטה

$\ {\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega \sin \lambda {\frac {dz}{dt}}+\omega ^{2}z=0$ , שפתרונה הוא

$\ z(t)=e^{i\Omega \sin \lambda t}\cdot e^{\pm i{\sqrt {\omega ^{2}-(\Omega \sin \lambda )^{2}}}t}$

בקירוב $\Omega <<\omega$ מתקבלת התוצאה הסופית:

$\ z=x+iy=e^{i\Omega \sin \lambda t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})$ .

הביטוי בסוגריים מבטא תנועה הרמונית בתדירות $\omega$ , והביטוי $\ e^{i\Omega \sin \lambda t}$ הוא סיבוב מישור התנועה בתדירות $\ \Omega \sin \lambda$ . אם נעבוד ביחידות זמן של ימים, אז $\Omega ={\frac {2\pi }{1_{day}}}=2\pi$ , ונבחין כי מישור התנועה משלים סיבוב שלם כל $T={\frac {2\pi }{\Omega \sin \lambda }}={\frac {1}{\sin \lambda }}$ ימים. בישראל, שבה $\lambda \approx 32^{\circ }$ , המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.