אופרטור מדרגה סופית

באנליזה פונקציונלית, אופרטור מדרגה סופית הוא אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהתמונה שלו היא ממימד סופי.

אופרטורים מדרגה סופית במרחב הילברט

צורה קנונית

ניתן לתאר אופרטורים מדרגה סופית באמצעות מטריצות סופיות.

מאלגברה ליניארית, ידוע לנו שלמטריצה מלבנית, $M\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times m}$ יש דרגה $1$ אם ורק אם $M$ הוא מהצורה

$M=\alpha \cdot u{v}^{*},\text{where}\Vert u\Vert =\Vert v\Vert =1\text{and}\alpha \ge 0.$

בעזרת אותו טיעון והלמה של ריס ניתן להראשות שאופרטור $T$ על מרחב הילברט $H$ הוא מדרגה $1$ אם ורק אם

$Th=\alpha ⟨h,v⟩u\text{for all}h\in H,$

כאשר התנאים על $\alpha ,u,v$ זהים למקרה הסוף ממדי.

באינדוקציה, אופרטור $T$ בדרגה סופית $n$ הוא מהצורה

$Th=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i⟨h,v_i⟩u_i\text{for all}h\in H,$

כאשר $\{u_i\}$ ו $\{v_i\}$ הם בסיסים אורתונורמליים. זה למעשה ניסוח שקול עבור פירוק לערכים סינגולריים. ניתן לומר שזו צורה קנונית של אופרטורים מדרגה סופית.

בהכללה, עבור $n$ אינסופי ורצף המספרים החיוביים $\{{\alpha }_i\}$ עם נקודת הצטברות אך ורק ב $0$, אזי $T$ הוא אופרטור קומפקטי, וכעת יש את הצורה הקנונית עבור אופרטורים קומפקטיים.

אופרטורים קומפקטיים הם מחלקה עקבות אם ורק אם הסדרה $\sum _i{\alpha }_i$ מתכנסת; תכונה שמתקיימת מיידית עבור כל האופרטורים מדרגה סופית.

אופרטורים מדרגה סופית על מרחב בנך

אופרטור מדרגה סופית $T:U\to V$ בין מרחבי בנך הוא אופרטור חסום כך שהתמונה שלו היא מימד סופי. כמו במקרה של הילברט, אפשר לכתוב את זה בצורה הבאה:

$Th=\sum _{i=1}^n⟨u_i,h⟩v_i\text{for all}h\in U,$

כאשר $v_i\in V$, ו $u_i\in U^{\prime }$ הן פונקציות ליניאריות חסומות על המרחב $U$.

פונקציונלי ליניארי חסום הוא מקרה פרטי של אופרטור מדרגה סופית, כלומר מדרגה אחת.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אופרטור מדרגה סופית40913150Q5450385