נקודת הצטברות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה ובאנליזה מתמטית, $x$ היא נקודת הצטברות של קבוצה $A$ אם בכל סביבה של $x$ קיימת לפחות נקודה אחת פרט ל-$x$ השייכת ל-$A$ .

למשל, נקודות ההצטברות של קטע הן נקודות הקטע וכן הקצוות שלו.

במרחבים מטריים, אם נקודה כלשהי היא נקודת הצטברות של קבוצה, נובע מכך שבכל סביבה שלה קיימים אינסוף איברים מהקבוצה, והנקודה היא גם נקודת גבול של הקבוצה. תכונה זו מתקיימת במרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה, אבל לא בכל מרחב טופולוגי.

הגדרה

תהי $A$ קבוצה במרחב טופולוגי $X$ . נקודה $x\in X$ היא נקודת הצטברות של $A$ אם היא שייכת לסגור של הקבוצה $A-\{x\}$ .

פירושו של דבר הוא שבכל קבוצה פתוחה $U$ המכילה את $x$ מצויה נקודה נוספת אחת לפחות של $A$ .

את אוסף נקודות ההצטברות של $A$ מסמנים $A'$ ; בשל סימון זה, אוסף נקודות ההצטברות נקרא לפעמים "הקבוצה הנגזרת" של $A$ .

סגור ונקודות הצטברות

אפיון קבוצה סגורה

נקודות הצטברות מופיעות כאפיון נוח לקבוצות סגורות: קבוצה $A$ היא סגורה אם ורק אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה.

הוכחה

כיוון ראשון – תהי $A$ קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. יש להוכיח כי המשלים $A^{c}$ הוא קבוצה פתוחה.

תהי נקודה $x\in A^{c}$ , אזי $x$ איננה נקודת הצטברות של $A$ ולכן קיימת סביבה שאינה מכילה אף נקודה מ-$A$ . סביבה זו מוכלת ב-$A^{c}$ , ולכן $x$ שייכת לפנים של $A^{c}$ .

הוכחנו שכל הנקודות ב-$A^{c}$ שייכות לפנים שלו, ולכן $A^{c}$ קבוצה פתוחה.

כיוון שני – נניח כי $A$ סגורה, ותהי $x$ נקודת הצטברות של $A$ .

נניח בשלילה כי $x\notin A$ . מכיוון ש-$A^{c}$ קבוצה פתוחה, זוהי סביבה של $x$ ולכן החיתוך $A\cap A^{c}$ אינו ריק – בסתירה להגדרת קבוצה משלימה.

מכאן שנקודת ההצטברות $x\in A$ .

אפיון הסגור

עבור כל קבוצה, הסגור שלה ניתן לייצוג על ידי ${\text{Cl}}(A)={\bar {A}}=A\cup A'$ . נוכיח זאת תוך שימוש בתכונה שהראינו לעיל:

כיוון ראשון – תהי $F$ קבוצה סגורה המכילה את $A$ . נראה כי $F$ מכילה גם את $A'$ .

ברור כי כל נקודת הצטברות של $A$ היא גם נקודת הצטברות של $F$ (כי $A\subseteq R$), ומכיוון ש-$F$ סגורה היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, לכן $A'\subset F$ .

מכיוון שהסגור הוא חיתוך כל הקבוצות הסגורות המכילות את $A$ , נקבל $A\cup A'\subset {\bar {A}}$ .

כיוון שני – ברור כי $A\cup A'$ קבוצה סגורה (כי היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה), והרי הסגור של $A$ מוכל בכל קבוצה סגורה המכילה את $A$ . נקבל ${\bar {A}}\subset A\cup A'$ .

משתי ההכללות נובע השוויון המבוקש ${\bar {A}}=A\cup A'$ .

צורת הצגה זו שימושית ונוחה יותר לחישוב הסגור יותר מאשר באמצעות הגדרתו (כקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $A$).

ראו גם

• סגור (טופולוגיה)
• שפה (טופולוגיה)
• נקודת גבול