אינטגרל רימן-סטילטיס

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

אינטגרל רימן

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מתמטית, אינטגרל רימן-סטילטיס (נקרא גם אינטגרל סטילטיס) הוא הרחבה של אינטגרל רימן. אינטגרל זה נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי תומאס יוהנס סטילטיס בשנת 1894.

לאינטגרל רימן-סטילטיס חשיבות רבה במיוחד בתחום ההסתברות והוא משמש לחישוב תוחלת ומומנטים של משתנה מקרי.

הגדרה

יהי זוג מספרים ממשיים $a\le b$ וזוג פונקציות $f,g:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$.

תהי חלוקה $\overline{x}:=(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ של הקטע $[a,b]$ כך ש-$a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.

בנוסף, יהי $\overline{c}:=(c_0,c_1\dots ,c_{n-1})$ תגיות של $\overline{x}$ כך שלכל $0\le i\le n-1$ מתקיים ש-$x_i\le c_i\le x_{i+1}$.

מגדירים את פרמטר החלוקה:

$\xi (\overline{x}):=\underset{0\le i\le n-1}{\max }(x_{i+1}-x_i)$

$S_{f,g}(\overline{x},\overline{c})=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$

אזי, אינטגרל רימן-סטילטיס של $f$ לפי $g$ מוגדר להיות $A\in \mathbb{ℝ}$ המקיים:

$\underset{\xi (\overline{x})\to 0}{\lim }|S_{f,g}(\overline{x},\overline{c})-A|=0$

כלומר, $A$ הוא אינטגרל רימן-סטילטיס של $f$ לפי $g$ אם ורק אם לכל $ϵ>0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל חלוקה $\overline{x}$ של $[a,b]$ המתקיימת $\xi (\overline{x})<\delta$ ולכל תגיות $\overline{c}$ של $\overline{x}$ מתקיים ש-$|S_{f,g}(\overline{x},\overline{c})-A|<ϵ$.

ניתן להוכיח כי אם $A$ זה קיים הוא יחיד ומסמנים אותו ב-$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$ או ב-$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$. במקרה זה $f$ תקרא האינטגרנד ו-$g$ תקרא האינטגרטור.

איטגרל רימן-סטילטיס לגבולות אינסופיים

ניתן להרחיב את אינטגרל רימן-סטילטיס לקטע חצי-אינוספי ולמרחב הממשי כולו באופן הבא:

יהי זוג מספרים ממשיים $a\le b$ וזוג פונקציות $f,g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$. אזי מגדירים:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}fdg:=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}fdg:=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}fdg:=\underset{\stackrel{a\to -\mathrm{\infty }}{b\to \mathrm{\infty }}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$

תכונות

אריתמטיקה

יהי זוג מספרים ממשיים $a\le b$, פונקציות $f,f_1,f_2,g,g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ וקבוע $c\in \mathbb{ℝ}$. אזי מתקיימות הזהויות האריתמטיות הבאות:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}fdg=0$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}fdg$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}cfdg=c\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_1+f_2)dg=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{1}dg+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{2}dg$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd(g_1+g_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd{g}_1+\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd{g}_2$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd(g_1\cdot g_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f{g}_{1}d{g}_2+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f{g}_{2}d{g}_1$

בכל הנוסחאות לעיל קיום האינטגרל (ים) מימין גורר את קיום האינטגרל משמאל.

אינטגרציה בחלקים

אינטגרל רימן-סטילטיס מקיים גרסה מקבילה לנוסחת האינטגרציה בחלקים:

יהי זוג מספרים ממשיים $a\le b$ וזוג פונקציות $f,g:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$. אזי מתקיימת הזהות הבאה:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}gdf$

כאשר קיום האינטגרל משמאל גורר את קיום האינטגרל מימין ולהפך.

קשר לאינטגרל רימן

יהי זוג מספרים ממשיים $a\le b$ וזוג פונקציות $f,g:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$.

אזי, אם $g$ גזירה בקטע $[a,b]$ והנגזרת שלה $g^{\prime }$ אינטגרבילית לפי רימן, מתקיים השוויון:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$

כאשר האינטגרל משמאל הוא אינטגרל רימן-סטילטיס והאינטגרל מימין הוא אינטגרל רימן.

אינטגרביליות רימן-סטילטיס

בהינתן זוג מספרים ממשיים $a\le b$ וזוג פונקציות $f,g:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$, מגדירים ש-$f$ אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי $g$ אם ורק אם האינטגרל $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$ קיים וסופי.

באמצעות אינטגרציה בחלקים, ניתן להוכיח כי $f$ אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי $g$ אם ורק אם $g$ אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי $f$.

כמו כן, אם $f$ רציפה ו-$g$ בעלת השתנות חסומה, $f$ ו-$g$ אינטגרביליות רימן-סטילטיס אחת לפי השנייה.

מכיוון שכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה, אם $f$ רציפה ו-$g$ מונוטונית הן אינטגרביליות רימן-סטילטיס אחת לפי השנייה.

שימושים בהסתברות

בהינתן משתנה מקרי $X$ ניתן להגדיר פונקציית התפלגות $F(x):\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ כך שלכל $a\in \mathbb{ℝ}$ מתקיים ש-$P(X\le a)=F(a)$.

כמו כן, יהי $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה כלשהי. על-מנת לחשב את התוחלת של הפעלת הפונקציה $f$ על $X$ יש להשתמש באינטגרל רימן-סטילטיס:

$E[f(X)]:=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dF(x)$

מקרים חשובים של חישובים מסוג זה הוא חישוב התוחלת והמומנט ה-$n$-י של המשתנה המקרי, שהם בהתאמה:

$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdF(x)$

$E[X^n]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}dF(x)$

במקרה שבו $F$ גזירה ונגזרתה אינטגרבילית לפי רימן, יש למשתנה המקרי פונקציית צפיפות הסתברות $g:=F^{\prime }$, ולכן ניתן לחשב את התוחלות הנ"ל ישירות באמצעות אינטגרל רימן:

$E[f(X)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$

אינטגרל לבג-סטילטיס

הכללה חשובה של אינטגרל רימן-סטילטיס היא אינטגרל לבג-סטילטיס.

יהי זוג מספרים ממשיים $a\le b$ וזוג פונקציות $f,g:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ כך ש-$f$ חסומה ו-$g$ עולה מונוטונית.

לכל $a\le c\le b$ מסמנים $g(c^{+}):=\underset{x\to c^{+}}{\lim }g(x)$ ו- $g(c^{-}):=\underset{x\to c^{-}}{\lim }g(x)$.

מגדירים קדם-מידה $w$ על חוג הקבוצות הנפרש על-ידי קטעים ב-$[a,b]$ כך שלכל $a\le e<f\le b$:

$w([e,f]):=g(f^{+})-g(e^{-})$

$w([e,f)):=g(f^{-})-g(e^{-})$

$w((e,f]):=g(f^{+})-g(e^{+})$

$w((e,f)):=g(f^{-})-g(e^{+})$

ובנוסף מגדירים $w(\mathrm{\varnothing }):=0$.

לפי משפט ההרחבה של קרתאודורי, קיימת מידה ${\mu }_g$ על סיגמא-אלגברת בורל המתלכדת עם הגדרת $w$. בגלל ש-$w$ מוגדרת על קטע סגור, היא קדם-מידה סופית ולכן ${\mu }_g$ זו יחידה. מגדירים:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg:=\underset{[a,b]}{\int }fd{\mu }_g$

האינטגרל $\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdg$ נקרא אינטגרל לבג-סטילטיס של $f$ לפי $g$.

ניתן להוכיח כי אם אינטגרל רימן-סטילטיס של $f$ לפי $g$ קיים, גם אינטגרל לבג-סטילטיס של $f$ לפי $g$ קיים ושניהם שווים.

דוגמאות

• במקרה שבו $g(x)=x$ (כלומר, $g$ היא פונקציית הזהות), אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל רימן מתלכדים. כלומר, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
• במקרה שבו $f(x)=c$ (כלומר, $f$ היא פונקציה קבועה), מתקיים ש-$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=c(g(b)-g(a))$
• במקרה שבו $g(x)=c$ (כלומר, $g$ היא פונקציה קבועה), מתקיים ש-$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=0$
• במקרה שבו $g(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }x\ge c\\ 0& \text{if }x<c\end{array}$ עבור $a\le c\le b$ כלשהו (כלומר, $g$ היא פונקציית מדרגה), מתקיים ש-$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=f(c)$

קישורים חיצוניים

• אינטגרל רימן-סטילטיס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אינטגרל רימן-סטילטיס41423711Q285771