אינטגרציה בחלקים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Integration by parts v2.svg

באנליזה מתמטית, אינטגרציה בחלקים היא שיטת אינטגרציה שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור נגזרות. בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של אינטגרל של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה והפונקציה הקדומה של השנייה.

באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק אינטגרלים מסוימים.

ניסוח פורמלי

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות , מתקיים:

כדי להראות את נכונות הטענה די לבצע אינטגרציה על שני האגפים של כלל המכפלה האומר כי

בחירת הפונקציה הקדומה והנגזרת

למרות שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.

ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה על-פי הרשימה הבאה, בסדר יורד:

נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות בתחתית הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים. יחד עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע.

דוגמאות

דוגמה 1

אנו רוצים לחשב את האינטגרל ולכן בהתאם לנוסחה ובהמשך ל"כלל האצבע "נבחר את המשתנים שלנו כך:

המשתנים מהפונקציה המקורית יוגדרו:

ולכן נגדיר בהתאם:

ומכאן נקבל:

דוגמה 2

אנו רוצים לחשב את האינטגרל . כאן נדמה כי הפונקציה שאנו מוצאים לה אינטגרל היא יחידה ואין כאן מכפלה של פונקציות, ולכן אין דרך להשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים, אולם ניתן להסתכל על אינטגרל זה כעל האינטגרל .

כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך:

פונקציה קדומה של 1 קל לחשב: למשל . גם הנגזרת ידועה. לכן נקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int1\arctan(x)dx=x\arctan(x)-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx=x\arctan(x)-\frac{\ln(1+x^2)}{2}+C\end{align}}

ממדים גבוהים

ניתן להרחיב את הנוסחה של אינטגרציה בחלקים עבור משתנים מרובים. במקום לבצע אינטגרל על אינטרוול, יש לבצע אינטגרציה על קבוצה -ממדית. כמו כן, יש להחליף את הנגזרת בנגזרת חלקית.

באופן מדויק יותר, נניח כי היא תת-קבוצה פתוחה וחסומה של עם שפה חלקה . אם גזירות ברציפות בסגור של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} אז הנוסחה של אינטגרציה החלקים ניתנת ע"י:

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\mathbf\nu}} הוא הנורמל היוצא כלפי חוץ ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{\nu}_i} הוא הרכיב ה-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\le i\le n} .

ראו גם