אי-שוויון הלדר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, המהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון התגלה על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס בשנת 1888, ובאופן בלתי-תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי-השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

אי-השוויון

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי מרחב מידה. עבור קבוע לכל נהוג לסמן:

יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם (כלומר ).

אי-השוויון קובע שלכל המקיימים , לכל זוג פונקציות מדידות מתקיים כי

אם מתקיים בנוסף כי וכן גם , אז אי-השוויון הוא שוויון אם ורק אם תלויות לינארית במרחב , כלומר קיים עבורו כמעט תמיד ביחס ל- .

מקרים פרטיים חשובים

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

עבור כאשר .

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, למשל:

כאשר וגם .

כאשר מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: ולכן סה"כ

הוכחה

נשים לב שלכל מתקיימת הטענה . זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי פונקציה קעורה ולכן .

כעת נסמן ולפי הטענה הנ"ל מתקיים

נכפיל את שני האגפים ב־ ונקבל את אי-השוויון הרצוי .

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.