בגאומטריה אוקלידית, משפט תלמי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן ההמאה ה-2, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.
ניסוח המשפט: אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני, כלומר: , אז:
מכיוון שכל מרובע המקיים תנאי זה ניתן לחסום במעגל, הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא: בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.
הוכחה
- יהי עבורו
- נחסום את המרובע במעגל.
- בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד החותך את הצלע בנקודה עבורה (במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
- כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת .
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים דומים, ולכן .
- כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת .
- מבניית העזר . כמו-כן , ולכן .
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים דומים, ולכן .
- מיחסי הדמיון הנ"ל נקבל:
- נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל:
- אבל ולכן .
אי-שוויון תלמי והכיוון ההפוך למשפט
מרובע שלא ניתן לחסום במעגל
כל מרובע מקיים את אי-השוויון . שוויון מתקיים אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.
ראו גם