משפט תלמי

בגאומטריה אוקלידית, משפט תלמי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן ההמאה ה-2, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.

ניסוח המשפט: אם במרובע $A B C D$ סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני, כלומר: $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$ , אז:

A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D

מכיוון שכל מרובע המקיים תנאי זה ניתן לחסום במעגל, הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא: בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.

הוכחה

יהי $A B C D$ עבורו $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$
נחסום את המרובע במעגל.
בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד $B$ החותך את הצלע $A C$ בנקודה $K$ עבורה $∠ A B K = ∠ C B D$ (במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
$∠ B A C = ∠ B D C$ כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת $\hat{B C}$ .
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים $A K B, D C B$ דומים, ולכן $\frac{A K}{A B} = \frac{C D}{B D}$ .
$∠ A C B = ∠ A D B$ כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת $\hat{A B}$ .
מבניית העזר $∠ A B K = ∠ C B D$ . כמו-כן $\begin{aligned} ∠ A B D & = ∠ A B K + ∠ K B D \\ ∠ C B K & = ∠ C B D + ∠ K B D \end{aligned}$ , ולכן $∠ A B D = ∠ C B K$ .
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים $K B C, A B D$ דומים, ולכן $\frac{C K}{B C} = \frac{A D}{B D}$ .
מיחסי הדמיון הנ"ל נקבל:
1. $\begin{aligned} A K \cdot B D = A B \cdot C D \\ C K \cdot B D = B C \cdot A D \end{aligned}$
2. נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: $A B \cdot C D + B C \cdot A D = (A K + C K) \cdot B D$
3. אבל $A K + C K = A C$ ולכן $A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D$ .