אי-שוויון ינסן

אי שוויון ינסן

במתמטיקה, אי-שוויון ינסן טוען שממוצע ערכי פונקציה קמורה גדול או שווה לערך הפונקציה בממוצע הנקודות. אי השוויון נקרא על שם המתמטיקאי הדני יוהאן ינסן.

ניתן להבין זאת באופן אינטואיטיבי על ידי התרשים:

ממוצע הנקודות הוא אמצע הקטע שעליו מדברים, באיור הוא מסומן על ידי הקו המקווקו. ניתן לראות כי ערך הגרף הכתום בנקודה זו, מכיוון שהוא ליניארי, שווה לממוצע ערכי הפונקציה (הכתומה). ניתן להשתכנע בקלות מכיוון שממוצע כל שתי נקודות הנמצאות מימין ומשמאל לאמצע הקטע באותו מרחק שווה לערך באותה נקודה.

עתה, נוסיף גרף (הגרף הירוק) המתאר פונקציה קמורה. קל לראות כי מכיוון שהפונקציה קמורה, כל הערכים של הפונקציה יהיו גבוהים יותר מערכי הפונקציה הקודמת, או לפחות שווים להם. מכיוון שבפונקציה הכתומה הערך באמצע שווה לממוצע, אם הערכים יגדלו ממוצע הערכים בהכרח יעלה ולכן הערך באמצע יהיה קטן בהכרח מממוצע הערכים. הערך הממוצע יהיה גדול מערך הפונקציה בממוצע הנקודות, כמו שאומר אי שוויון ינסן.

המקרה הבדיד

אם $\ f:(a,b)\to \mathbb {R}$ פונקציה ממשית קמורה המוגדרת על קטע ואם $\ x_{1},\dots ,x_{n}\in (a,b)$ אז מתקיים $f\left({\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\dots +f(x_{n})}{n}}$ .

אין במשפט דרישה שהנקודות הן שונות. ניתן להשתמש בעובדה זו ולהוכיח הכללה של המשפט שבה הממוצע הרגיל מוחלף בממוצע משוקלל כלשהו. אם הפונקציה היא קעורה, אי השוויון הוא הפוך.

לדוגמה, עבור הפונקציה $\ f(x)=-x\log(x)$ , שהיא קעורה בקטע $\ (0,1)$ , אי-השוויון קובע ש- $\log(n)\geq -\sum p_{i}\log(p_{i})$ לכל $\,p_{1},\dots ,p_{n}$ חיוביים שסכומם 1. כלומר, האנטרופיה של מרחב הסתברות עם n מצבים היא מקסימלית בהתפלגות האחידה.

המקרה הכללי

אם $\ f:(a,b)\to \mathbb {R}$ פונקציה ממשית קמורה ואם $\ \mu$ מידת הסתברות על הקטע אז $f\left(\int _{(a,b)}x\,d\mu \right)\leq \int _{(a,b)}f(x)\,d\mu$ .

מכאן ניתן לגזור כי עבור $\ g:(a,b)\to \mathbb {R}$ פונקציה ממשית קעורה ואם $\ \mu$ מידת הסתברות על הקטע אז $g\left(\int _{(a,b)}x\,d\mu \right)\geq \int _{(a,b)}g(x)\,d\mu$ .

שימושים

אם משתמשים בפונקציה הקמורה $\ \exp$ ומציבים $\ x_{i}=\log(a_{i})$ , מקבלים את אי-שוויון הממוצעים ${\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \dots \cdot a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$ .