אלגברת לייבניץ

במתמטיקה, אלגברת לייבניץ היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המהווה הכללה של אלגברת לי. מרחב וקטורי L עם פעולת כפל הוא אלגברת לייבניץ שמאלית אם כל פעולת כפל משמאל $\ell _{x}{\,:\,}L\rightarrow L$ היא נגזרת (אלגברה); ואלגברת לייבניץ ימנית אם כל פעולת כפל מימין היא נגזרת. כל אלגברת לי היא אלגברת לייבניץ שמאלית וימנית (זוהי זהות יעקובי). אלגברת לייבניץ שמאלית או ימנית היא אלגברת לי אם פעולת הכפל שלה היא אנטי-סימטרית.

תהי L אלגברת לייבניץ שמאלית. המרחב הנפרש על ידי ריבועים הוא גרעין לייבניץ. הוא שווה לאפס אם ורק אם האלגברה היא אלגברת לי. גרעין לייבניץ הוא תמיד אידיאל דו-צדדי אמיתי (אלא אם L=0). המנה מעל אידיאל זה היא אלגברת לי.

אם L אלגברת לי ו-M מודול שמאלי מעליה, אז האלגברה $L\ltimes M$ שהפעולה בה מוגדרת לפי $(x,a)(y,b)=([x,y],xb)$ היא אלגברת לייבניץ שמאלית, הנקראת מכפלה ישרה-לרביע (hemi-semidirect product) של L ו-M.