שדה סגור אלגברית

במתמטיקה, שדה $F$ הוא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מ- $F$ קיים שורש ב- $F$ .

דוגמאות

שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ הוא לא סגור אלגברית. הפולינום $x^{2}+1$ , למשל, הוא פולינום עם מקדמים ממשיים (0 ו-1) שלא קיים לו שום שורש ממשי - לא קיים מספר ממשי $x$ כך ש- $x^{2}+1=0$ . בצורה דומה ניתן לראות שכל תת-שדה של שדה המספרים הממשיים (ובפרט, למשל, שדה המספרים הרציונליים) הוא אינו סגור אלגברית.
כל שדה סופי $F$ הוא לא סגור אלגברית. אם $a_{1},\ldots ,a_{q}$ הם איברי השדה $F$ , אז הפולינום $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{q})+1=x^{q}-x+1\in F[x]$ הוא פולינום שמקדמיו מ- $F$ אבל לא קיים לו שורש ב- $F$ .
בניגוד לדוגמאות הקודמות, לפי המשפט היסודי של האלגברה, שדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית (למשל, לפולינום $x^{2}+1$ קיים שורש מרוכב).
דוגמה נוספת לשדה סגור אלגברית הוא שדה המספרים האלגבריים, שהוא הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים.
הסגור האלגברי של שדה סופי ממאפיין $p$ הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים $GF(p^{\infty })$ .

הגדרות שקולות

שדה $F$ הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:

אין לשדה הרחבה מממד סופי.
אין לשדה הרחבה אלגברית לא טריוויאליות
לכל פולינום מעל השדה (שאינו קבוע), יש שורשים בשדה.
כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 מעל השדה הוא פריק.
כל פולינום שמקדמיו בשדה $F$ מתפצל שם לגורמים ליניאריים.
לכל מטריצה ריבועית ישנו ערך עצמי.

חשיבות גאומטרית

בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר $y=x$ אינו נחתך עם המעגל $x^{2}+y^{2}=1$ (משום שנקודות החיתוך $x=y=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.