בעיית סוסלין

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, בעיית סוסלין היא שאלה לגבי קבוצות סדורות קווית שהועלתה על ידי מיכאיל יעקובלביץ סוסלין (1920)[1] ופורסמה לאחר מותו, עקב מותו המפתיע בגיל 25. הבעיה התגלתה כבלתי תלויה במערכת האקסיומות של צרמלו - פרנקל, שהיא מערכת האקסיומות הסטנדרטית עבור תורת הקבוצות האקסיומטית.

ניסוח הבעיה

אם קבוצה סדורה קווית לא ריקה R מקיימת את ארבעת המאפיינים הבאים:

  1. R אינה מכילה איבר מקסימלי או איבר מינימלי;
  2. הסדר ב R הוא צפוף (בין כל 2 איברים, יש איבר נוסף);
  3. הסדר על R הוא שלם: לכל קבוצה חסומה לא ריקה של איברים מ R קיימים סופרמום ואינפימום;
  4. עוצמתה של קבוצה של קטעים פתוחים זרים ב-R היא לכל היותר אָלֶף אֶפֶס

האם הסדר ב R בהכרח איזומורפי לסדר בישר הממשי R

אם הדרישה הרביעית מוחלפת בדרישה ש R מכילה קבוצה צפופה בת מנייה (כלומר, R היא ספרבילית) אז התשובה לשאלה היא אכן כן: הסדר בכל קבוצה R כזו בהכרח איזומורפי לסדר בישר הממשי (הוכח על ידי קנטור, שהראה גם שהרציונליים הם הקבוצה הסדורה היחידה שהיא בת-מניה, צפופה, ונטולת מינימום ומקסימום). 

הדרישה הרביעית ברשימה למעלה ידועה כתכונת סוסלין.

השלכות

כל קבוצה סדורה קווית שאיננה איזומורפית לישר הממשי R אבל מקיימת את (1) – (4) ידועה כישר סוסלין. השערת סוסלין אומרת שאין ישרי סוסלין: כל סדר קווי צפוף, חסר נקודות קצה ושלם שמקיים את תכונת סוסלין הוא איזומורפי לסדר בR. טענה שקולה היא שלכל עץ מגובה ω1 קיים ענף מאורך ω1 או אנטי-שרשרת מעצמה אלף אפס

בעיית סוסלין הוכחה כבלתי תלויה במערכת האקסיומות של צרמלו - פרנקל

הערות שוליים

  1. ^ זוהי שנת הפרסום של המאמר. סוסלין עצמו מת ב-1919.

 

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24605911בעיית סוסלין