קבוצה סדורה צפופה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף סדר צפוף)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצה סדורה היא צפופה אם בין כל שני איברים שלה, יש איבר נוסף.

קבוצה A עם סדר חלקי נקראת "צפופה" אם לכל יש כך ש-. בקבוצה צפופה אין משמעות למושג "האיבר הקטן ביותר הגדול מ-x", משום שלכל איבר הגדול מ-x, יש איבר נוסף ביניהם. בפרט, בין כל שני איברים בקבוצה צפופה יש אינסוף איברים אחרים.

לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה: הממוצע החשבוני של כל שני מספרים רציונליים הוא רציונלי. לעומתה, קבוצת המספרים הטבעיים אינה צפופה: אין מספר טבעי בין 1 ל-2. גאורג קנטור הוכיח שקבוצת המספרים הרציונליים היא הקבוצה הסדורה היחידה (עד כדי איזומורפיזם) שהיא בת-מניה, צפופה, ונטולת מינימום ומקסימום.

תת-קבוצה צפופה

תת-קבוצה B של קבוצה סדורה A היא תת-קבוצה צפופה, אם בין כל שני איברים של יש איבר של , כלומר לכל שעבורם , קיים כך ש-. לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בקבוצת הממשיים (זו תוצאה של הארכימדיות של הממשיים). קבוצה היא צפופה (במובן שהוגדר לעיל) אם ורק אם היא צפופה כתת-קבוצה של עצמה. אם B צפופה ב-A, אז כל אחת מהן מוכרחה להיות צפופה.

סדר ליניארי צפוף והישר הממשי

כל קבוצה סדורה ליניארית בת מניה ניתן לשכן בקבוצת המספרים הרציונליים. קנטור הראה ב-1895 שהמספרים הרציונליים הם הקבוצה הסדורה-ליניארית הצפופה בת-המניה היחידה שאין לה איבר ראשון ואחרון. המספרים הממשיים הם הקבוצה הסדורה-ליניארית הספרבילית והשלמה היחידה שאין לה איבר ראשון ואחרון. (קבוצה סדורה היא ספרבילית אם יש לה תת-קבוצה צפופה בת-מניה, ושלמה אם היא מקיימת את אקסיומת החסם העליון).

Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0