ב (מתמטיקה)
במתמטיקה, יש שימוש באות ב׳ בייצוג עוצמות אינסופיות. השימוש באות ב׳ במתמטיקה דומה לשימוש באות א' (אָלֶף אֶפֶס), אך אינו זהה (אלא בקבלת השערת הרצף המוכללת כנכונה). בניגוד לשימוש ב־, השימוש ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth} לא בהכרח מכסה את כל העוצמות האינסופיות שקיימות.
הגדרה
ראשית נגדיר
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_0=\aleph_0}
כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_0} הוא העוצמה של כל קבוצה בת מנייה אינסופית. כעת נגדיר
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}}
כלומר, כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_{\alpha}} הוא העוצמה של קבוצה המהווה קבוצת חזקה של קבוצה שעוצמתה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_{\alpha-1}} .
בצורה כזאת ניתן להתאים לכל מספר טבעי n עוצמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_n} . ניתן להרחיב את ההגדרה לכל מספר סודר על ידי הגדרה לסודרים גבוליים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}}
וסודרים עוקבים כמו קודם.
לפי משפט קנטור, לכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה יותר, ואין עוצמה אינסופית גדולה ביותר. לכן לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_{\alpha}} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_{\alpha+1}} שגדול ממנו.
קשר לשימוש ב־ℵ׳ במתמטיקה
השערת הרצף (שלפיה עוצמת הרצף היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר שאינה בת מנייה) שקולה למשפט . השערת הרצף המוכללת שקולה למשפט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_\alpha = \aleph_\alpha} .
יש המסמנים את עוצמת שדה המספרים הממשיים באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph} , וכך מקבלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_1=\aleph} .
ב (מתמטיקה)35508427Q831092