גוף סיבוב

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
ההנפשה מתארת יצירת טורוס על-ידי סיבוב עיגול (אדום) סביב ציר סיבוב העובר מחוצה לו (הציר אינו מתואר בהנפשה)

בגאומטריה של המרחב, גוף סיבוב הוא גוף הנוצר על-ידי סיבוב צורה גאומטרית מישורית סביב ישר (הנקרא ציר הסיבוב) המונח במישור הצורה.

למשל, אם נסובב עיגול סביב ישר העובר דרך מרכזו, נקבל כדור, ואם נסובב את העיגול סביב ישר הנמצא מחוצה לו, נקבל טורוס.

לפעמים מתייחס המונח "גוף סיבוב" גם למשטח הנוצר מסיבוב עקומה סביב ישר, אך חשוב להבדיל בין השניים; בעוד שגוף סיבוב הוא צורה גאומטרית תלת-ממדית, משטח סיבוב הוא יריעה דו-ממדית, העוטפת את גוף הסיבוב. גוף הסיבוב יהיה חסום אם העקומה חסומה, אבל המונח מתייחס גם לגופים שאינם חסומים, כמו למשל, גוף לא-חסום, המוגבל על-ידי פרבולואיד, המתקבל מסיבוב פרבולה סביב ציר הסימטריה שלה.

גופי סיבוב מוכרים

גוף הסיבוב הצורה הגאומטרית מקום ציר הסיבוב[1] זווית הסיבוב במעלות
כדור עיגול עובר דרך מרכז העיגול 180
טורוס עובר מחוץ לעיגול 360
ספרואיד אליפסה מתלכד עם אחד מצירי האליפסה 180
גליל מלבן מתלכד עם אחד הניצבים 360
חרוט ישר משולש ישר-זווית
דו-חרוט משולש שווה-שוקיים מתלכד עם בסיס המשולש

נפח גוף סיבוב סביב ציר x

נפח גוף הסיבוב המתקבל על-ידי סיבוב סביב ציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של השטח הכלוא בין הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} לציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ולישרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a,x=b} הוא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=\pi\int\limits_a^b f(x)^2dx}

ההסבר לנוסחא הוא שכדי לחשב את הנפח של גוף הסיבוב, נבנה צורה הדומה לו על-ידי ערימת אוסף של דיסקות. מכך שנפחה של דיסקית נתון על-ידי הנוסחא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi r^2h} (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} רדיוס הדיסקה, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} גובהה) ושרדיוס כל דיסקה שווה בקירוב לערך הפונקציה בסביבתו, נקבל את הנוסחא המבוקשת.

מקרה מיוחד הראוי לציון הוא נפח גוף הסיבוב המתקבל על-ידי סיבוב סביב ציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של השטח הכלוא בין הישרים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=a,x=b} ובין שתי פונקציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g} .

נוכל לעשות זאת על-ידי חיסור נפח גוף הסיבוב של הצורה הפנימית מהחיצונית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}V=\pi\int\limits_a^b\Big|f(x)^2-g(x)^2\Big|dx\end{align}}

נפח גוף סיבוב סביב ציר y

נפח גוף סיבוב המתקבל על-ידי סיבוב שטח מישורי של פונקציה (הכלוא בין הישרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a,x=b} ) סביב ציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} הוא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}V=2\pi\int\limits_a^b x\!\cdot\!f(x)dx\end{align}}

נפח גוף סיבוב סביב ישר כלשהו

ראה ערך משפט פאפוס.

שטח גוף סיבוב

שטח הפנים של גוף סיבוב המתקבל על-ידי סיבוב סביב ציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של השטח הכלוא בין הפונקציה לציר ולישרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a,x=b} הוא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A=2\pi\int\limits_a^b\big|f(x)\big|\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx\end{align}}

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ קיימות אפשרויות שונות למקם את ציר הסיבוב. מיקום הציר יכול להשפיע על סוג גוף הסיבוב שיתקבל (כדור או טורוס, למשל), או על גודל הגוף. מלבן המסובב סביב קטע האמצעים שלו, קטן בקוטרו פי שתיים, מגליל המסובב סביב הניצב המקביל לקטע. קיימת השפעה גם על זווית הסיבוב