כדור (גאומטריה)
כדור הוא גוף גאומטרי המורכב מן הנקודות במרחב שמרחקן מנקודה קבועה הוא לכל היותר מספר חיובי קבוע מסוים, הקרוי רדיוס. כאשר רדיוס הכדור הוא 1, הכדור נקרא כדור היחידה. פני השטח של הכדור הן ספירה. כדור הוא הכללה של עיגול למרחב מממד כלשהו. לעיתים קרובות המילה כדור משמשת לכדור במרחב התלת-ממדי.
כדור הכולל את שפתו (הספירה) נקרא כדור סגור. כדור ללא שפתו נקרא כדור פתוח.
לערך העוסק בפנים של הספירה במרחב מטרי כלשהו, ראו כדור (טופולוגיה).
משוואת הכדור
במרחב האוקלידי התלת-ממדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^3} , אורך של וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3} נתון על ידי הנורמה הבאה:
ולכן מההגדרה של הכדור הסגור, נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור הסגור סביב המרכז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{0} = (0,0,0)} היא
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, x^2 + y^2 + z^2 \le r^2}
כאשר x,y,z הן הקואורדינטות במערכת צירים קרטזית של נקודה על פני הכדור, ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} קוראים הרדיוס של הכדור.
משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\,(x_0,y_0,z_0)} היא
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \le r^2}
תכונות גאומטריות
- שטח הפנים של כדור בעל רדיוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \ 4\pi r^2} .
- הנפח של כדור בעל רדיוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = \frac{4 \pi r^3}{3}} .
הכדור הוא הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר (אי-שוויון איזופרימטרי). לדוגמה, בהיעדר כוח משיכה, טיפת מים שבשל מתח הפנים רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.
הכללה ל-n ממדים
ניתן להכליל את הכדור לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-כדור מסומן בדרך כלל כ-Bn והוא מוגדר כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי n-ממדי שנמצאות במרחק קטן מ-r מנקודה כלשהי במרחב (r, הרדיוס, הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).
ניתן לתאר את כל הנקודות על הכדור הסגור על ידי שימוש בווקטור. הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n} שייכת לכדור אם היא מקיימת את אי השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq r^2} .
בפרט:
- 0 ממדים – כדור הוא נקודה.
- 1 ממדים – כדור הוא קטע בישר.
- 2 ממדים – כדור הוא עיגול במישור.
- 3 ממדים – כדור הוא הכדור התלת-ממדי.
- 4 ממדים – כדור הוא איחוד כל הכדורים על פני ממד רביעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} , כאשר רדיוסם הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{r^2-w^2}} , עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w \in [-r,r]} (ניתן לקבל זאת מנוסחת הכדור ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ממדים).
נפח של n-כדור
נפח הכדור, בצורה מפורשת, נתון על ידי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\tfrac n2 + 1\bigr)}r^n= \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases} }
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma(z)} היא פונקציית גמא.
שטח הפנים של n-כדור
אפשר לקבל נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-כדור (ספירה) על ידי חישוב הנגזרת של נפח הכדור ע"פ הרדיוס בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} :
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{n-1}(r) = \frac{d}{dr} V_{n}(r) = \frac{n}{R}V_{n}(r).}
או בפירוש,
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{n-1}(r) = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)}r^{n-1}= \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases} }
רדיוס כפונקציה של נפח
ניתן לחשב את הרדיוס של n-כדור בעל נפח נתון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} על ידי הנוסחא הבאה:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_n(V) = \frac{\Gamma\bigl(\frac n2 + 1\bigr)^{1/n}}{\sqrt{\pi}}V^{1/n} } .
נוסחאות מקורבות
לפעמים נוח להשתמש בנוסחה מקורבת לחישוב הנפח של הכדור בממדים גבוהים. ניתן לקרב את הנוסחא לחשוב הנפח של n-כדור על ידי נוסחת סטירלינג, ולקבל
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_n(r) \sim \frac{1}{\sqrt{n\pi}}\left(\frac{2\pi e}{n}\right)^{n/2}r^n} .
באופן דומה, ניתן לקבל נוסחה מקורבת לחשוב הרדיוס כפונקציה של הנפח.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_n(V) \sim (\pi n)^{1/(2n)}\sqrt{\frac{n}{2\pi e}} V^{1/n}} .
תכנות נוספות
נפח n-כדור עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \to \infty }
אפשר להסיק מהנוסחה המקורבת לנפח n-כדור שעבור רדיוס קבוע r, כאשר n שואף לאינסוף, הנפח של הכדור שואף לאפס.
קליפה של n-כדור
עבור n-כדור, הנפח היחסי של קליפה בעובי קבוע שואף ל-1 כאשר n שואף לאינסוף. במילים אחרות, עבור n גדול, רוב הנפח של ה־n-כדור נמצא קרוב לשפה.
עבור n-כדור ברדיוס 1, אפשר לחשב את הקליפה בעובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } , הוא
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{crust}_n = \frac{V_n(1) - V_n(1-\varepsilon)}{V_n(1)} = 1-\varepsilon^n } .
אפשר לראות שעבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } קבוע, הביטוי לנפח הקליפה שואף (בקצב מעריכי) ל-1.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- כַּדּוּר, באתר האקדמיה ללשון העברית
- כדור, באתר MathWorld (באנגלית)
כדור (גאומטריה)40223920Q838611