כדור (גאומטריה)

ספירה – פני השטח של כדור

כדור הוא גוף גאומטרי שפני השטח שלו מוגדרים על ידי המקום הגאומטרי של כל הנקודות במרחב שמרחקן מנקודה מסוימת, מרכז הכדור, קבוע. המרחק של כל נקודה על פני הכדור מהמרכז נקרא רדיוס (בעברית: מחוג). כדור הוא הכללה של עיגול למרחב תלת-ממדי. באופן דומה אפשר להכליל את מושג ה"כדור" למרחב בעל $n$ ממדים. בערך זה נתמקד בכדור הגאומטרי התלת־ממדי.

כדור הכולל את שפתו (הספירה) נקרא כדור סגור. כדור ללא שפתו נקרא כדור פתוח.

לערך העוסק בפנים של הספירה במרחב מטרי כלשהו, ראו כדור (טופולוגיה).

משוואת הכדור

במרחב האוקלידי התלת־ממדי, אלמנט מרחק $ds$ נתון על ידי הנורמה הבאה:

$ds={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}}$

ולכן מההגדרה הבאה של הכדור המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק קטן או שווה ל־$R$ מנקודה מסוימת "המרכז" נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור הסגור היא

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$

כאשר $x,y,z$ הם הקואורדינטות במערכת צירים קרטזית של נקודה על פני הכדור ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק $R$ קוראים הרדיוס ("מחוג") של הכדור.

ניתן להוכיח זאת על ידי ווקטור אלגברי במרחב, בדרך של מציאת האורך שלו והשוואתו לערך קבוע (הרדיוס).

משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו $(x_{0},y_{0},z_{0})$ היא

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq R^{2}$

תכונות גאומטריות

• שטח פני כדור שרדיוסו $r$ הוא $A=4\pi r^{2}$ .
• נפח כדור שרדיוסו $r$ הוא $V={\frac {4\pi }{3}}r^{3}$ .

הכדור הוא הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר (אי-שוויון איזופרימטרי). לדוגמה, טיפת מים שבשל מתח הפנים שלה, רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

הכללה ל־n ממדים

ניתן להכליל את הכדור לממד כללי $n$ (כאשר $n$ מספר שלם חיובי). $n$־כדור מסומן בדרך כלל $B^{n}$ והוא מוגדר כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי $n$־ממדי הנמצאות במרחק קטן מ־$r$ מנקודה כלשהי במרחב (כאשר $r$ מספר ממשי חיובי).

ניתן לתאר את משוואת הכדור על ידי שימור בוקטור שיתאר את כל הנקודות על הכדור, כאשר אורכו קבוע, ולהגיע למשוואה $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=R^{2}$.

בפרט:

• 0־כדור הוא נקודה.
• 1־כדור הוא קטע בישר.
• 2־כדור הוא עיגול במישור.
• 3־כדור הוא הכדור התלת־ממדי.
• 4־כדור הוא אוסף כל הכדורים על פני ממד רביעי $n$ , כאשר רדיוסם הוא ${\sqrt {R^{2}-n^{2}}}$ (ניתן לקבל זאת מנוסחת הכדור ב־$n$ ממדים).

שטח הפנים של $n$־כדור ברדיוס 1 הוא $2{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}$ , כאשר $\Gamma (z)$ היא פונקציית גמא.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של $n$־כדור:

$A={\begin{cases}{\dfrac {{\sqrt {(2\pi )^{n}}}r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}}&:n{\text{ even}}\\\\{\dfrac {2{\big (}{\sqrt {2\pi }}r{\big )}^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}}&:n{\text{ odd}}\end{cases}}$

נפח הכדור שטח הפנים כפול ${\frac {r}{n}}$ . בצורה מפורשת, הנפח נתון על ידי:

$V={\begin{cases}{\dfrac {{\big (}{\sqrt {2\pi }}r{\big )}^{n}}{2\cdot 4\cdots n}}&:n{\text{ even}}\\\\{\dfrac {2{\sqrt {(2\pi )^{n-1}}}r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}}&:n{\text{ odd}}\end{cases}}$

ראו גם

• כדור (טופולוגיה)

קישורים חיצוניים

• ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.
• על המילה 'כדור', באתר האקדמיה ללשון העברית