גז אולטרה-יחסותי (באנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.
באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:
כאשר הוא התנע של החלקיק, מסת המנוחה שלו, ו- מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים , ועל כן האנרגיה שלו היא:
כאשר הוא קבוע פלאנק המצומצם.
משתנים תרמודינמיים
נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל חלקיקים בנפח , המצומד למאגר חום בטמפרטורה (כאשר , ו- הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות הוא , כאשר צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:
מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:
כאשר .
פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:
מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:
האנרגיה הפנימית:
האנרגיה החופשית של הלמהולץ:
כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.
האנטרופיה:
הלחץ:
ניתן לשים לב שמתקיים:
(כאשר )
אפקטים קוונטיים בגז
בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו- הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .
לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:
כאשר היא פונקציית גמא, הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- .
גז פרמיונים אולטרה-יחסותי
בגבול (גז פרמיונים מנוון)
בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי () יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:
כאשר היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- . לכן:
כאשר תנע פרמי הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה . עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:
ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:
בטמפרטורה כללית
האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות , כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.
הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא
מספר החלקיקים:
בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:
( היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)
לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ:
כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם , ניתן לקבל את הקשר , כאשר היא האנטרופיה. מכאן:
גז בוזונים אולטרה-יחסותי
לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.
הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא:
האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס
כאשר בוצעה החלפת משתנים . באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים:
נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:
( היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)
כדי לקבל את הלחץ:
וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:
חשיבות המודל
התפשטות היקום המוקדם
למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן על פי השערת המדע, ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח , וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:
משתנים תרמודינמיים עבור בוזונים ופרמיונים,
|
בוזונים
|
פרמיונים
|
אנרגיה פנימית
|
|
|
מספר חלקיקים
|
|
|
לחץ
|
|
|
אנטרופיה
|
|
|
כאשר היא פונקציית זטא של רימן.
להשערת החוקרים, היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים . כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר . מכאן ניתן לרשום:
כאשר הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.
יציבות של ננסים לבנים
נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.
לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:
(כאשר )
פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:
מכיוון ש- (כאשר המספר האטומי של האטומים בכוכב, מספר המסה שלהם, הצפיפות של הננס הלבן ו- מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:
הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:
כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.
לקריאה נוספת
ביבליוגרפיה
- Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
- Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press
29994263גז אולטרה-יחסותי