פונקציית זטא של רימן

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


גרף של פונקציית זטא עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s>1} ממשי

פונקציית זטא של רימן (על שם המתמטיקאי ברנהרד רימן) היא פונקציה מרוכבת, ונודעת לה חשיבות רבה בתורת המספרים, בשל הקשר שלה להתפלגותם של המספרים הראשוניים. לפונקציה שימושים גם בפיזיקה, בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה. הראשון לחקור את הפונקציה היה לאונרד אוילר במאה ה-18.

פונקציית זטא של רימן מוגדרת עבור מספרים מרוכבים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}} . לטור דיריכלה זה קיימת המשכה אנליטית יחידה לכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=1} . פונקציה זו היא הדוגמה המוכרת ביותר למשפחה של פונקציות הקרויות כולן פונקציות זטא.

ניתן לחשב באופן אנליטי את הערכים של פונקציית זטא בנקודות ממשיות שלמות זוגיות, באמצעות שוויון פרסבל. כך למשל

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\zeta(2)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\\\zeta(4)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}\end{align}}

באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן: ההשערה קובעת שכל האפסים ה"לא-טריויאליים", כלומר האפסים שאינם מצורת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2m} כאשר טבעי, נמצאים על הישר . השערה זו היא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה.

הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta(s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}} , כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.

המשכה אנליטית והמשוואה הפונקציונלית

כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על ידי הסכום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}} , הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Re}(s)=1} . כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע המשכה אנליטית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-s}=\sum_{n=1}^\infty s\int\limits_n^\infty\frac{dt}{t^{s+1}}=s\int\limits_1^\infty\frac{\lfloor t\rfloor}{t^{s+1}}dt=\frac{s}{s-1}-s\int\limits_1^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t^{s+1}}dt}

האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Re}(s)=0} , ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.

אם מגדירים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda(s)=\Gamma\left(\tfrac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma} פונקציית גמא, אז מתקיים השוויון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda(s)=\Lambda(1-s)} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} מרוכב שאינו שלם.

משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר , היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל.

אפשר להוכיח אותה מן הזהות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta\left(\frac{i}{t}\right)=t^\frac12\theta(it)} שמקיימת פונקציית תטא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{n^2\pi zi}} .

לפונקציית זטא של רימן יש גם גרסה סימטרית, שהיא פונקציית קסי של רימן, שהיא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(s)=\tfrac12s(s-1)\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\tfrac{s}{2}\right)\zeta(s)} .

מקורות

  • Riemann's zeta function, H.M. Edwards, 1974.