גלגלי שיניים אפיציקליים

רכבת גלגלי השיניים הפלנטרית שבאיור מורכבת מגלגל שמש (בצהוב), גלגלי הפלנטות (בכחול), המערכת המקשרת ביניהם (בירוק) והטבעת החיצונית (בורוד). הסימנים האדומים מראים את התנועה היחסית של גלגל השמש והמערכת המקשרת, כאשר מסובבים את המערכת המקשרת ב-45° בכיוון השעון וטבעת השיניים החיצונית מוחזקת נייחת.

רכבת גלגלי שיניים אפיציקלית (באנגלית: Epicyclic gearing) היא אחת הקונפיגורציות האפשריות לגלגלי שיניים דיפרנציאליים, והיא מכילה (לפחות) שני גלגלי שיניים המוצבים כך שהמרכז של אחד מהם סובב מסביב למרכז של האחר, וטבעת שיניים חיצונית. במערך כזה, גלגל השיניים בעל המרכז המקובע נקרא גלגל השמש, בעוד גלגל השיניים השני, שסובב סביבו, מכונה גלגל פלנטה. גלגלי השיניים הפלנטריים וגלגל השמש נושקים, כך שהשפות שלהם מתגלגלות ללא החלקה. נקודה על השפה של גלגל הפלנטה יוצרת, כאשר היא נעה, עקום אפיציקלואידי.

גלגלי שיניים אפיציקליים קיבלו את שמם מן היישום המוקדם ביותר שלהם, שהוא מידול התנועות הפלנטריות הנצפות בשמיים. בערך בשנת 500 לפנה"ס, היוונים המציאו את הרעיון של אפיציקלים, הווה אומר מעגלים הסובבים מסביב למעגלים אחרים. בעזרת גרסה מתוחכמת למדי של אפיציקלים, תלמי, בספרו אלמגסט משנת 148 לספירה, היה מסוגל לחזות נתיבים פלנטריים. למנגנון אנטיקיתרה, משנת 80 לפנה"ס, הייתה מערכת גלגלי שיניים כה מורכבת שהייתה מסוגלת אף לקרב את מסלולו האליפטי של הירח בשמיים, ואפילו לדמות את מחזור תשע השנים של הפרצסיה של מסלולו האליפטי (ככל הנראה היוונים מידלו את תנועתו לא כתנועה אליפטית, אלא כתנועה אפיציקלית).

ניתוח מתמטי של מערכת אפיציקלית פשוטה

יחס גלגלי השיניים (gear ratio) של מערכת אפיציקלית הוא מעט לא אינטואיטיבי, במיוחד מכיוון שישנן מספר דרכים בהם קלט סיבוב יכול להיות מומר לפלט סיבובי. שלושת הרכיבים הבסיסיים של מערכת אפיציקלית הם:

שמש: גלגל השיניים המרכזי.
Carrier: אוחזת באחד או יותר מהגלגלים הפלנטריים ההיקפיים, ששיניהם משתלבות עם אלו של גלגל השמש. מהירות הסיבוב של רכיב זה יחסית למהירות הקווית של מרכזי גלגלי הפלנטות.
טבעת שיניים: טבעת חיצונית עם שיניים הפונות כלפי פנים ומשתלבות עם גלגלי הפלנטות.

בדוגמה זו ננתח את המערכת האפיציקלית הפשוטה ביותר האפשרית, זו של גלגל שמש, גלגל פלנטה יחיד וטבעת חיצונית. ראשית, מעט טרמינולוגיה:

{\omega _{\text{r}}},{\omega _{\text{s}}},{\omega _{\text{p}}},{\omega _{\text{c}}}

הן המהירויות הזוויתיות של הטבעת, גלגל השמש, גלגל הפלנטה, והמערכת המקשרת בהתאמה, ו-:

{{\text{N}}_{\text{r}}},{{\text{N}}_{\text{s}}},{{\text{N}}_{\text{p}}}

אלו הם מספר השיניים של הטבעת, גלגל השמש וגלגל הפלנטה.

r,s,p

הם הרדיוסים של גלגל הפלנטה, השמש והטבעת, בהתאמה.

ברור מתנאי ההשקה של גלגלי השיניים שקוטר גלגל הפלנטה צריך להיות שווה להפרש הרדיוסים של הטבעת החיצונית וגלגל השמש. לכן, כיוון שגלגלי השיניים חייבים להיות מסודרים במרווחים שווים וזהים עבור כל אחד מהגלגלים כדי שהשיניים של גלגלים נושקים ישתלבו היטב, נקבל ש-:

r-s=2p\implies N_{r}-N_{s}=2N_{p}

,

ההקשה של השוויון הימני מהשמאלי נובע מהנחת מרווחים אחידים בין שן לשן וזהים עבור כל הגלגלים, כלומר מההנחה שמתקיים לכל מהגלגלים: $N\propto R$ , כאשר קבוע הפרופורציה זהה.

תנאי אי-החלקה פירושו שהמהירויות הקוויות בנקודת ההשקה של נקודה על גלגל הפלנטה ושל הנקודה על גלגל השמש שנמצאת במגע עמה, שוות (וכדומה לגבי הממשק של גלגל הפלנטה וטבעת השיניים). לפיכך, אם נסמן ב-V את המהירות הקווית של מרכז גלגל השיניים הפלנטרי, נקבל:

\omega _{s}\cdot s=V-\omega _{p}\cdot p

\omega _{r}\cdot r=V+\omega _{p}\cdot p

כלומר קיבלנו מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני נעלמים. לכן מקבלים שהמהירות הזוויתית $\omega _{p}$ והמהירות הקווית V של גלגל הפלנטה הן:

\omega _{p}={\frac {\omega _{r}N_{r}-\omega _{s}N_{s}}{N_{r}-N_{s}}}

V={\frac {\omega _{r}r+\omega _{s}s}{2}}

קצה זרוע המערכת המקשרת (carrier) אוחז במרכז הגלגל הפלנטרי, ולפיכך הקצה שלה נמצא במרחק ממרכז המערכת ששווה לממוצע רדיוסי השמש והטבעת, כלומר: $c={\frac {r+s}{2}}$ . כיוון שהמהירות הזוויתית של המערכת המקשרת מקיימת: $\omega _{c}={\frac {V}{c}}={\frac {2V}{r+s}}$ , נקבל: