גרעין (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם $\,f:X\rightarrow Y$ עבור $X,Y$ אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט $K$ "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה $\,k:K\rightarrow X$, כך ש-$\,f\circ k=0$.

הגדרה

תהי $C$ קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו $X,Y$ אובייקטים ויהי $\,f:X\rightarrow Y$ מורפיזם.

הגרעין של $f$ הוא אובייקט $\ker(f)$ שעבורו קיים מורפיזם $k:\ker(f)\to Y$ שהוא המשווה של $f$ ושל מורפיזם האפס $0_{X,Y}:X\to Y$, וכן $\ker(f)$ אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום $k$.

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:

• $\,f\circ k=0_{K,Y}$, כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

• בהינתן אובייקט $K'$ עם מורפיזם כלשהו $\,k':K'\rightarrow X$ כך ש-$\,f\circ k'=0_{K',Y}$, קיים מורפיזם יחיד $\,u:K'\rightarrow K$ כך ש $\,k\circ u=k'$. כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם $k$ הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

דוגמאות

• בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם $\,f:X\rightarrow Y$, אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה $\,k:K\rightarrow X$ הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
• בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).