חבורה אבלית חופשית

במתמטיקה, חבורה אבלית חופשית (מאנגלית: Free abelian group) היא חבורה אבלית בעלת בסיס. זוהי חבורת הסכומים הפורמליים הסופיים מעל קבוצה נתונה, בה הפעולה היא חיבור ברכיבים. זוהי החבורה האבלית הכללית ביותר - כל חבורה אבלית אחרת היא תמונה שלה ולכן גם מנה שלה.

הגדרה

תכונה אוניברסלית

את החבורה האבלית החופשית ניתן להגדיר, כמשתמע משמה, בתור החבורה האבלית החופשית ביותר. פורמלית, היא מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: בהינתן קבוצה $S$, מתאימים לה חבורה אבלית $FA(S)$ והומומורפיזם $i:S\to FA(S)$, כך שלכל חבורה אבלית אחרת $A$ ולכל העתקה $f:S\to A$, יש הרחבה יחידה ${\hat {f}}:FA(S)\to A$. כלומר, הדיאגרמה הבאה מתחלפת:

כלומר, העתקות מתוך החבורה האבלית החופשית מספיק להגדיר על היוצרים, כמו גם בחבורה החופשית.

מעצם קיומה את התכונה האוניברסלית, נובע כי החבורה החופשית יחידה עד כדי איזומורפיזם, ועל כן מספיק להציג בנייה שלה.

בנייה מפורשת

בהינתן קבוצה $S$, נגדיר $FA(S)=\oplus _{S}{\mathbb {Z} }$, כלומר סכום ישר של החבורה הציקלית $S$ פעמים. מפורשות, זוהי קבוצת הסדרות $(n_{i})_{i\in S}$ בעלות תומך סופי - כלומר, $n_{i}=0$ פרט למספר סופי של אינדקסים. הפעולה בה היא חיבור סדרות, והנגדי הוא $(-n_{i})_{i\in S}$.

כעת, נראה שהיא מקיימת את התכונה האוניברסלית - השיכון $i:S\to FA(S)$ נתון על ידי $s\mapsto \delta _{s,y}$ (הדלתא של קרונקר), כלומר אל הסדרה שהיא 1 במקום ה-$s$ ואפס בכל מקום אחר. בהינתן חבורה $A$ והעתקה $f:S\to A$, ההרחבה היחידה שלה נתונה על ידי ${\hat {f}}((n_{i})_{i\in S})=\sum {n_{i}f(s_{i})}$.

בדרך כלל מתייחסים אל איברי החבורה האבלית החופשית $FA(S)$ בתור סכומים פורמליים באיברי $S$. כל סדרה $(n_{i})_{i\in S}$ מזוהה עם סכום פורמלי סופי $\sum {n_{i}s_{i}}$. כך למשל מגדירים את ההרחבה לעיל על פי - ${\hat {f}}(\sum {n_{i}s_{i}})=\sum {n_{i}f(s_{i})}$.

תכונות

בהתאם לבנייה, כל חבורה אבלית אחרת $A$ היא תמונה של החבורה האבלית החופשית, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון גם מנה שלה. פירוש הדבר הוא, שלכל חבורה אבלית הצגה כמו לחבורה האבלית החופשית המתאימה, יחד עם היחסים הנובעים מהמנה.

החבורה האבלית החופשית הציקלית (והחופשית) היחידה היא $\mathbb {Z}$.

החבורה האבלית החופשית איננה באופן כללי חבורה חופשית, שכן יש בה יחסים; היא החבורה החופשית בתוך הקטגוריה של החבורות האבליות (ואכן מקיימת את אותה התכונה שמקיימת החבורה החופשית בקטגוריית החבורות). זהו מקרה פרטי של בניית אובייקט חופשי בקטגוריה נתונה.

החבורה האבלית החופשית היא האבליניזציה של החבורה החופשית; זוהי החבורה החופשית בתוספת יחס החילופיות - כל שני יוצרים שלה מתחלפים. כלומר, זוהי החבורה האבלית הכללית ביותר.

לכל שתי קבוצות מאותה עוצמה אותה חבורה חופשית - פירוש הדבר הוא שזוהי החבורה של סכום פורמליים של סמלים, ולא משנה מהם הסמלים.

חבורה אבלית היא חבורה חסרת פיתול, וכל חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול היא חופשית. כאשר החבורות לא נוצרות סופית אין הטענה נכונה; הרציונליים $(\mathbb {Q} ,+)$ הם דוגמה לכך.

כל תת חבורה של חבורה אבלית חופשית אף היא אבלית חופשית. הוכחת משפט זה משתמשת באקסיומת הבחירה. זהו המשפט המקביל בחבורות אבליות למשפט נילסן-שרייר בחבורות כלליות. כאשר מדובר בחבורה אבלית חופשית נוצרת סופית, משפט המיון נותן תוצאה מפורשת - לכל בסיס $\{e_{1},..,e_{n}\}$ של החבורה המקורית, קיימים $d_{1}\mid \dots \mid d_{k}$ כך ש-$\{d_{1}e_{1},\dots ,d_{k}e_{k}\}$ בסיס לתת החבורה. המקדמים $d_{i}$ לא תלויים בבחירת הבסיס.

חבורה אבלית חופשית היא מודול חופשי מעל חוג המספרים השלמים.

בטופולוגיה אלגברית, חבורת ההומולוגיה האפס של מרחב טופולוגי היא חבורה אבלית חופשית, על קבוצת מרכיבי הקשירות שלו. בשיטה זו אפשר גם לספור את מרכיבי הקשירות המסילתית של מרחבים מסוימים, ולמשל להוכיח בעזרת כלים של תורת ההומולוגיה את משפט עקומת ז'ורדן.