היפרבולה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
ההיפרבולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac1x}
מציאת מרכז של היפרבולה

במתמטיקה, הִיפֶּרְבּוֹלָה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שהערך המוחלט של ההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מערכת צירים קרטזית כעקומה, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0}

כאשר .

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (מוקד) וישר נתון (מדריך) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה.

היפרבולה בעלת צירים שווים נקראת היפרבולה שוות שוקיים. היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

משוואות המתארות היפרבולה

מערכת קואורדינטות קרטזית

(המרכז (המוקד): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (h,k)} )

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}&=1\\\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}&=1\end{align}}

בשתי משוואות אלה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הציר הראשי ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הציר המשני, אולם ייתכן ש- יהיה גדול מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} .

במקרה הפרטי של היפרבולה קנונית (כלומר, שהמוקד נמצא בראשית הצירים – הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0)} ), מתקבלת הנוסחה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}

ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של אליפסה קנונית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} .

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}}

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-h)(y-k)=c}

משוואות האסימפטוטות הן:

מערכת קואורדינטות קטבית

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}r^2&=a\sec(2t)\\r^2&=-a\sec(2t)\\r^2&=a\csc(2t)\\r^2&=-a\csc(2t)\end{align}}

הצגה פרמטרית (לענף הימני)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}x=a\cosh(\theta),y=b\sinh(\theta)\\x=a\tan(\theta),y=b\sec(\theta)\end{matrix}}

תכונות אנליטיות של ההיפרבולה

השטח תחת ההיפרבולה

האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2-x^2=1} הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\sqrt{1+x^2}dx=\frac{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+x\sqrt{1+x^2}}{2}=\text{arsinh}(x)+\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}} .

ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} למערכת קואורדינטות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x^*,y^*)} המסובבת בזווית 45 מעלות ביחס למערכת הצירים ומקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^*=\frac{C}{x^*}} .

טרנספורמציית קואורדינטות זו מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac1x} היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת הלוגריתם בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (אינטגרל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac1x} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(x)} ). האבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו .

ראו גם

קישורים חיצוניים