למת הנזל

למת הנזל היא משפט מתמטי יסודי בתורת המספרים, המאפשר להרים תופעות שונות (כגון פירוק של פולינום לגורמים או שורשים של פולינום) מן המספרים מודולו p למספרים מודולו $\ p^{k}$, עבור ערכים הולכים וגדלים של k, ובסופו של דבר לחוג המספרים ה-p-אדיים. לדוגמה, הלמה מאפשרת להראות שקיים פתרון למשוואה $\ x^{2}\equiv 2{\pmod {7^{n}}}$, וזאת לכל n.

הלמה של הנזל קושרת תכונות של שדה שלם ביחס להערכה לא ארכימדית (ובפרט שדה מקומי) לתכונות של חוג השארית של השדה. שדות שהפולינומים מעליהם מקיימים את התכונות שהלמה מבטיחה נקראים "שדות הנזליים".

כמה גרסאות של הלמה

1. יהיו p מספר ראשוני ו- $\ f(x)$ פולינום שמקדמיו שלמים. אם r הוא פתרון למשוואה $\ f(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ ומתקיים $\ f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$ (כאשר 'f היא הנגזרת של הפולינום), אז לכל $k\geq 2$ יש פתרון יחיד x למשוואה $\ f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$, שהשארית שלו בחלוקה ל- p שווה ל- r.

ניסוח שקול, המחליף את החוגים $\ \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ בגבול ההפוך שלהם, חוג המספרים ה-p-אדיים $\ \mathbb {Z} _{p}$ (שהוא חוג מקומי אינסופי, להבדיל מן השדה הסופי $\ \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$):

2. יהיו p מספר ראשוני ו- $\ f(x)$ פולינום מעל $\ \mathbb {Z} _{p}$. אם יש לפולינום שורש פשוט מודולו p, אז יש לו גם שורש ב- $\ \mathbb {Z} _{p}$.

משפט זה הוא מקרה פרטי של הלמה הכללית יותר:

3. אם פולינום $\ f(x)$ מעל $\ \mathbb {Z} _{p}$ מתפרק לגורמים זרים מודולו p, אז הוא מתפרק גם מעל $\ \mathbb {Z} _{p}$.

בחישובים מפורשים, שימושית גם הגרסה הבאה, שהיא מפורטת יותר מן הגרסה 1.

4. יהי $\ f(x)$ פולינום עם מקדמים שלמים, יהי $k\geq 2$ ויהי p מספר ראשוני. נניח ש r הוא פתרון לקונגרואנציה $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}\,$. אם $\ f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},$, אז קיים מספר שלם יחיד $\ 0\leq t\leq p$ כך ש- $f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\,$ הוא פתרון מודולו $p^{k}$.

אותו t נתון על ידי $t\equiv -({f'(r)})^{-1}{\frac {f(r)}{p^{k-1}}}{\pmod {p}}\,$ כאשר $\ (f'(r))^{-1}f'(r)\equiv 1{\pmod {p}}$.

אם לעומת זאת $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}},$ ובנוסף $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}},$ אז $f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\,$ לכל t שלם, ובפרט כל הפתרונות מאופיינים על ידי $\ 0\leq t\leq p$.

אם $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}\,$ ו $f(r)\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ אזי לקונגרואנציה $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\,$ אין שום פתרון.

הוכחת גרסה 4 של הלמה

נרשום פיתוח טיילור לפולינום שלנו

$\ f(r+tp^{k-1})=f(r)+f'(r)tp^{k-1}+\sum _{m=2}^{n}{f^{(m)}(r)(tp^{k-1})^{m}/m!}$

וזהו פולינום ב-t עם מקדמים שלמים. נשים לב שמודולו $p^{k}$ כל האיברים בסכום מ m=2 עד n שווים לאפס.
לכן, דורשים ש $\ R=r+tp^{k-1}$יהיה פתרון ומקבלים ש

$\ 0=f(r+tp^{k-1})=f(r)+f'(r)tp^{k-1}{\pmod {p^{k}}}$

מכיוון ש- $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}$ אז נוכל לחלק ב $\ p^{k-1}$ ונקבל ש

$\ f'(r)t=-f(r)/p^{k-1}{\pmod {p}}$.

זוהי קונגרואנציה לינארית ב-t ולה יש פתרון יחיד בתנאי ש $f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$. במקרה זה הפתרון הוא כפי שנתון בניסוח הלמה.

אם $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ קל לראות שיש פתרון רק אם אגף ימין קונגרואנטי לאפס גם הוא, ואז זה מצב של $\ 0\cdot t=0$ וכל t פתרון. אחרת, קל לראות שאין פתרון.

דוגמה

יהי $\ f(x)=x^{2}+x+47$. נרצה לפתור $\ f(x)\equiv 0{\pmod {49=7^{2}}}$. למשוואה זו שני פתרונות: 1 ו-5. נרים את 5 לדוגמה.

אזי $\ f'(x)=2x+1$ ואילו $f'(5)\equiv 11\equiv 4{\pmod {7}}$. מכאן יש פתרון יחיד. נשים לב שההפכי של 4 מודולו 7 הוא 2 מודולו 7 ולכן

$\ R=r+tp^{k-1}\equiv 5+7\cdot (-2\cdot 77/7)\equiv 5-2\cdot 77\equiv -149\equiv 47\equiv -2{\pmod {49}}$

ניתן להציב ולראות ש 2- הוא אכן פתרון.