הלמה של קנטור

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור עבור .

הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות זו לזו מבלי לעבור זו את זו, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לנקודה משותפת.

בניסוח שקול ניתן לראות בבירור שזהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור: בהינתן סדרה אינסופית של קטעים סגורים, כך שכל קטע מכיל את הבאים אחריו, וקטרי הקטעים שואפים לאפס, קיימת נקודה אחת המשותפת לכל הקטעים.

אחד משימושי הלמה של קנטור הוא הוכחת משפט בולצאנו-ויירשטראס ומשפט היינה-בורל, ששקולים לה.

ניסוח פורמלי

תהיינה סדרות עבורן . אם אזי שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים .

ניסוח שקול:

תהי סדרת קטעים סגורים עבורה . אם אזי קיימת נקודה יחידה עבורה לכל .

הוכחה

ראשית נראה קיום נקודה:

יהי הקטע כך שמתקיים , כלומר .

לכן מונוטונית עולה ו- מונוטונית יורדת, כלומר .

, כלומר חסומה ולכן מתכנסת .

, כלומר חסומה גם היא ולכן מתכנסת .

כלומר מתקיים .

ולכן .


כעת נראה יחידות נקודה:

נניח ללא הגבלת הכלליות כי .

לכן .

מהנתון ניתן להסיק:

ואז .

על פי כלל הסנדוויץ' מתקיים , כלומר . סתירה.

לכן קיימת נקודה יחידה .