אריתמטיקה של גבולות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של עבורן קיימים הגבולות הסופיים .

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

כלל הסכום

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

כלל המכפלה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

אם נבחר בפונקציה קבועה , יתקבל המקרה הפרטי .

כלל המנה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי , כלומר:

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר .

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

תהיינה פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של שעבורן מתקיים:

  • כאשר סופי

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

כאשר מתקיים:
כאשר מתקיים:

כאשר לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול כיון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר .

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של שעבורה מתקיים:

  • קיימת סביבה מנוקבת של בה מתקיים

בתנאים אלו מתקיים:

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של בה מתקיים ובמקרה הזה הגבול הוא .

תהיינה פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של שעבורן מתקיים:

בתנאים אלו מתקיים:

גם כלל זה תקף כאשר .

גבול של הרכבת פונקציות

תהיינה פונקציות עבורן וכן גם .

אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים:

  1. , כלומר רציפה ב־
  2. בסביבה מנוקבת של

אז הגבול של הרכבת הפונקציות בנקודה קיים ושווה .

הוכחות

נתון .

הוכחת כלל הסכום

יש להוכיח כי לכל קיים כך שלכל מתקיים .

מהנתונים על הגבולות נסיק כי:

  • קיים כך שלכל מתקיים .
  • קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר . לפי אי-שוויון המשולש,

הוכחת כלל המכפלה

יש להוכיח כי לכל קיים כך שלכל מתקיים .

מהנתונים על הגבולות נסיק כי:

  • חסומה וקיים כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: לכל וגם , עבור כלשהוא.
  • קיים כך שלכל מתקיים .
  • קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר . לפי אי-שוויון המשולש,

הוכחת כלל ההרכבה

יהי . נתון כי רציפה בנקודה , קיים כך שלכל מתקיים (1).

ולכן קיים כך שלכל מתקיים (2).

מ־(2) נסיק כי לכל מתקיים ולכן עבור נקבל מ־(1) כי .



סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0