כלל הסנדוויץ'

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.

בניסוח מתמטי: אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n,b_n,c_n} סדרות המקיימות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n\le c_n\le b_n\ ,\ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=L}

אז גם לסדרה קיים גבול, .

הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם פונקציות המקיימות:

אז גם לפונקציה קיים גבול בנקודה , .

כלל דומה (המכונה לעיתים "כלל הפיצה") תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.

ברעיון שמאחורי המשפט השתמש כבר ארכימדס במאה ה-3 לפנה"ס לחישוב היקף מעגל: הוא חסם אותו מבפנים ומבחוץ במצולעים משוכללים עם אותו מספר צלעות וחישב את היקפם, ועל ידי הגדלת מספר הצלעות הלך והתקרב לערך המדויק. שיטה זו קרויה שיטת המיצוי. המשפט נוסח בצורה מדויקת על ידי קרל פרידריך גאוס.

הוכחה

נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות.

יהי . נרצה למצוא מספר טבעי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} כך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>N} יתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |c_n-L|<\varepsilon} .

קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_1} כך שלכל מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon} .

קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_2} כך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>N_2} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon} .

נסמן . מהנתון מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n\le c_n\le b_n} , לכן

לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>N} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L-\varepsilon<a_n\le c_n\le b_n<L+\varepsilon}

לכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L-\varepsilon<c_n< L+\varepsilon} .

כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=L} .

ניתן להוכיח את הכלל עבור פונקציות בדיוק באותו אופן, או תוך שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה).

דוגמאות

סדרות

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה . נשים לב לאי־השוויונות הבאים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7=\sqrt[n]{7^n}\le\sqrt[n]{5^n+7^n}\le\sqrt[n]{7^n+7^n}=7\sqrt[n]{2}}

כלומר הסדרות החוסמות הן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n=7,b_n=7\sqrt[n]{2}} .

שתי הסדרות האלו מתכנסות ל־7 ולכן גם גבול הסדרה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} הוא 7.

קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי־שליליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_1,\ldots,d_k} מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{d_1^n+\cdots+d_k^n}=\max\{d_1,\ldots,d_k\}}

פונקציות

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\left(\frac1x\right)} .

כיוון שלכל מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1\le\sin(y)\le1} הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\sin\left(\frac1x\right)} חסומה בין הפונקציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -|x|,|x|} (פונקציות ערך מוחלט). שתי הפונקציות האלו שואפות לאפס כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} שואף לאפס ולכן גם הגבול המבוקש הוא אפס; הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\left(\frac1x\right)=0} .