וקטור לפלס-רונגה-לנץ

בערך זה, וקטורים יופיעו כאות מודגשת, וגודלם כאות נטויה. לדוגמה: $\left|\mathbf {A} \right|=A$

במכניקה קלאסית, וקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא וקטור המשמש בעיקר לתיאור מסלולי תנועה של גרמי שמים, דוגמת מסלול התנועה של כוכבי הלכת סביב השמש. הווקטור שימושי במיוחד בבעיית קפלר - בעיית מציאת מסלול תנועתם של שני גופים המפעילים זה על זה כוח שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק ביניהם (דוגמת כוח הכבידה או הכוח החשמלי), כיוון שבמקרה זה ווקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא גודל שמור.

תנועת האלקטרון והפרוטון באטום המימן היא דוגמה לבעיית קפלר, ואכן לווקטור לפלס-רונגה-לנץ תפקיד חשוב במציאת רמות האנרגיה של אטום המימן במסגרת תורת הקוונטים.

על פי משפט נתר, כל גודל שמור קשור לסימטריה כלשהי של המערכת הפיזיקלית. בפרט, עובדת היותו של וקטור לפלס-רונגה-לנץ גודל שמור בבעיית קפלר, נובעת מסימטריה מיוחדת של בעיה זו: בעיית קפלר שקולה מתמטית לבעיה של חלקיק הנע בחופשיות על שפת כדור 4 ממדי, כך שלבעיית קפלר יש בעצם סימטריה לסיבובים של מרחב 4 ממדי (בניגוד לבעיית כוח מרכזי כללית בה יש סימטריה לסיבובים של מרחב תלת-ממדי). הסימטריה הגדולה של בעיית קפלר נובעת משתי תכונות מיוחדות של בעיה זו: וקטור המהירות נע על פני מעגל, וכל המעגלים עבור אנרגיה נתונה נחתכים באותן נקודות.

קיימות הכללות של וקטור לפלס-רונגה-לנץ הלוקחות בחשבון גם אפקטים יחסותיים, שדות אלקטרומגנטיים ועוד.

וקטור לפלס-רונגה-לנץ ידוע גם כווקטור לנץ, וקטור רונגה-לנץ או וקטור לפלס. הווקטור קרוי על שמם של פייר סימון לפלס, קרל רונגה ווילהלם לנץ, למרות שאף אחד ממדענים אלו לא גילה אותו. למעשה, הווקטור "התגלה" מחדש מספר פעמים ובנוסף לשמות הנ"ל הוא גם שקול לווקטור האקסצנטריות.

בערך זה, לשם קיצור, יכונה וקטור לפלס-רונגה-לנץ בשם וקטור לנץ, ויסומן ב-A.

מבוא

בכל בעיית תנועה של גוף בהשפעת כוח מרכזי משמר, קיימים לפחות 4 קבועי תנועה: האנרגיה E ושלושת רכיבי וקטור התנע הזוויתי L. תנועת הגוף מוגבלת למישור הניצב לווקטור התנע הזוויתי. וקטור התנע p והווקטור המחבר בין הגוף ומרכז הכוח r נמצאים תמיד במישור זה.

גם וקטור לנץ, מוכל תמיד במישור התנועה, וזאת לכל כוח מרכזי. אולם, ברוב המקרים וקטור זה אינו קבוע. וקטור לנץ הינו קבוע אך ורק עבור כוח ריבועי הפוך (כוח שעוצמתו יורדת לפי ריבוע המרחק), ועבור כוחות אחרים הן גודלו של הווקטור והן כיוונו משתנים עם הזמן. עבור כוח שהוא בקירוב כוח ריבועי הפוך, גודלו של וקטור לנץ בקירוב נשמר והוא מסתובב באיטיות. ניתן להכליל את הגדרת וקטור לנץ על מנת לקבל וקטור שמור עבור כוחות מרכזיים אחרים, אולם וקטורים מוכללים אלו הינם מסובכים ביותר ולרוב לא ניתן לכותבם בצורה מפורשת.

היסטוריה

למרות היותו של וקטור לנץ שימושי בבעיית קפלר, הוא היה פחות מוכר בקרב פיזיקאים יחסית לווקטורים שמשמעותם אינטואיטיבית יותר, כגון וקטור המיקום r או התנע p. כתוצאה מכך הוא "התגלה" מספר פעמים על ידי פיזיקאים שונים באופן בלתי תלוי.

הראשון שהראה שגודלו של הווקטור A נשמר עבור בעיית קפלר היה המתמטיקאי יאקוב הרמן (1710). הוא אף קישר בין גודל זה לבין אקסצנטריות המסלול. מאוחר יותר באותה שנה, הכליל יוהאן ברנולי את עבודתו של הרמן והראה כי גם כיוונו של הווקטור נשמר. בסוף המאה ה-18 (1799) גילה מחדש לפלס כי A נשמר. לפלס עשה זאת תוך שימוש בשיטות אנליטיות, להבדיל משיטות גאומטריות בהן השתמשו הרמן וברנולי. באמצע המאה ה-19 (1847) פיתח המילטון את וקטור האקסצנטריות (השקול לווקטור A), והראה בעזרתו כי בבעיית קפלר וקטור התנע p נע על פני מעגל. בתחילת המאה ה-20 (1901) קיבל גיבס את אותו וקטור על ידי שימוש באנליזה וקטורית. פיתוח זה של גיבס הופיע כדוגמה בספר לימוד בנושא אנליזה וקטורית של רונגה (1919).

הספר של רונגה צוטט על ידי לנץ במאמר שעסק בניתוח אטום המימן במסגרת "תורת הקוונטים הישנה" (1924). מעט מאוחר יותר (1926) השתמש פאולי בווקטור על מנת לקבל את ספקטרום האנרגיה של אטום המימן במסגרת "תורת הקוונטים החדשה". פאולי עשה זאת תוך שימוש בשיטות אלגבריות ולא הסתמך על משוואת שרדינגר. בעקבות המאמרים הנ"ל, נכנס הווקטור לתודעת קהיליית הפיזיקאים כ"וקטור רונגה-לנץ". בשנות ה-70, בעקבות מחקריו של הרברט גולדשטיין על ההיסטוריה של הווקטור, הוסף גם שמו של לפלס לשם הווקטור.

הגדרה מתמטית

ציור 1 - שרטוט של וקטור לנץ A' (באדום) בארבע נקודות במסלול אליפטי (פתרון חסום של בעיית קפלר). בכל אחת מן הנקודות p'L ו-mk/r)r) שונים, אך הפרשם (וקטור לנץ) קבוע בגודלו ובכיוונו.

הגדרת וקטור לנץ עבור מערכת פיזיקלית של חלקיק יחיד הנע בהשפעת כוח ריבועי הפוך מן הצורה $\mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$, נתונה על ידי:

$\mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}}$

כאשר:

• $m\!\,$ היא מסת החלקיק,
• $\mathbf {p} \!\,$ הוא התנע שלו,
• $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \!\,$ הוא וקטור התנע הזוויתי,
• $k\!\,$ הוא פרמטר הקובע את עוצמת הכוח,
• $\mathbf {r} \!\,$ הוא מיקום החלקיק, $\mathbf {\hat {r}} \!\,$ הוא וקטור יחידה בכיוון $\mathbf {r} \!\,$.

הגדרה זו תקפה גם לתנועה היחסית בין שני גופים לבעיה דו גופית עם כוח ריבועי הפוך. במקרה זה $\ m$ היא המסה המצומצמת, $\mathbf {r}$ היא הקואורידנטה היחסית בין שני הגופים ו-$\mathbf {p} ,\mathbf {L}$ הם התנע והתנע הזוויתי של התנועה היחסית.

ניתן להגדיר וקטורים נוספים השקולים לווקטור לנץ. הגדרה מקובלת היא של וקטור האקסצנטריות:

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}}$

זהו בעצם וקטור לנץ המנורמל על מנת לקבל גודל חסר ממד.

תכונות בסיסיות

• וקטור לנץ מוכל במישור התנועה וניצב לווקטור התנע הזוויתי (A · L = 0).

עבור כל בעיית כוח מרכזי וקטור התנע הזוויתי L=rxp הוא גודל שמור והווקטורים r, p ניצבים אליו והם קובעים את מישור התנועה. כיוון שווקטור לנץ הוא קומבינציה לינארית של וקטורים אלו, הוא מוכל במישור התנועה וניצב לווקטור התנע הזוויתי.

• וקטור לנץ הוא גודל קבוע, כלומר: ${\frac {d\mathbf {A} }{dt}}=0$.

נוכיח זאת. לפי חוק שימור התנע הזוויתי L קבוע ולכן:

${\frac {d\left({\mathbf {p} }{\rm {\times }}{\mathbf {L} }\right)}{dt}}={\frac {d{\mathbf {p} }}{dt}}{\rm {\times }}{\mathbf {L} }$

נגזרת התנע לפי הזמן היא הכוח ${\frac {d{\mathbf {p} }}{dt}}={\mathbf {F} }$. כזכור, הכוח הווקטור מוגדר עבור הכוח ${\mathbf {F} }\left(r\right)=-{\frac {k}{r^{2}}}{\widehat {\mathbf {r} }}$. לפיכך:

${\frac {d{\mathbf {p} }}{dt}}{\rm {=}}-{\frac {k}{r^{2}}}{\widehat {\mathbf {r} }}$

התנע הזוויתי כפונקציה של המהירות הזוויתית ω:

${\mathbf {L} }{\rm {=}}mr^{2}\omega {\widehat {\mathbf {z} }}$

כאשר ${\widehat {\mathbf {z} }}$ וקטור הכיוון המאונך ל-${\widehat {\mathbf {r} }}$ ול-${\widehat {\mathbf {\varphi } }}$ (רכיבי המיקום והזווית). לפיכך,

${\frac {d\left({\mathbf {p} }{\rm {\times }}{\mathbf {L} }\right)}{dt}}=-{\frac {k}{r^{2}}}{\widehat {\mathbf {r} }}{\mathbf {\times } }mr^{2}\omega {\widehat {\mathbf {z} }}=-k{\widehat {\mathbf {r} }}{\mathbf {\times } }m\omega {\widehat {\mathbf {z} }}=-mk\omega {\widehat {\mathbf {r} }}{\mathbf {\times } }{\widehat {\mathbf {z} }}$

אולם, מתקיים:

${\widehat {\mathbf {r} }}{\mathbf {\times } }{\widehat {\mathbf {z} }}{\rm {=-}}{\widehat {\mathbf {\varphi } }}$

ולכן,

${\frac {d\left({\mathbf {p} }{\rm {\times }}{\mathbf {L} }\right)}{dt}}=mk\omega {\widehat {\mathbf {\varphi } }}$

כמו כן,

${\frac {d\left(mk{\widehat {\mathbf {r} }}\right)}{dt}}{\mathbf {=} }mk{\frac {d{\widehat {\mathbf {r} }}}{dt}}{\mathbf {=} }mk\omega {\widehat {\mathbf {\varphi } }}$

משני הביטויים הקודמים מתקבל כנדרש:

${\frac {d{\mathbf {A} }}{dt}}={\frac {d\left({\mathbf {p} }{\rm {\times }}{\mathbf {L} }\right)}{dt}}{\mathbf {-} }{\frac {d\left(mk{\widehat {\mathbf {r} }}\right)}{dt}}{\mathbf {=} }mk\omega {\widehat {\mathbf {\varphi } }}{\mathbf {-} }mk\omega {\widehat {\mathbf {\varphi } }}=0$

פתרון בעיית קפלר בעזרת וקטור לנץ

ציור 2 - הגדרת הזווית θ

בעזרת שימוש בווקטור לנץ ניתן לקבל את צורת המסלול בבעיית קפלר באופן הבא. נתבונן במכפלה הסקלרית $\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta$ (θ היא הזווית בין הווקטורים A ו-r [ציור 2]). מתקיים:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr$

חישוב המכפלה המשולשת נותן:

$\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\mathbf {L} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}$

כלומר קיבלנו כי:

$\ Ar\cos \theta =L^{2}-mkr$

ולאחר ארגון מחדש של האיברים, נקבל משוואה עבור המסלול $\ r(\theta )$ :

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)$

זו משוואה של חתך קוני עם אקסצנטריות $e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}$.

את A ניתן להביע בעזרת האנרגיה $E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}$ והתנע הזוויתי L. על ידי חישוב המכפלה הסקלרית של A עם עצמו מתקבל:

$A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}\,$

וכך ניתן להביע את פתרון בעיית קפלר בעזרת תנאי ההתחלה (האנרגיה והתנע הזוויתי)

$r(\theta )={\frac {\frac {L^{2}}{mk}}{1+{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}\cos(\theta )}}$

לניתוח הפתרון שהתקבל ראו בעיית קפלר וחוקי קפלר.

התנהגות וקטור התנע בבעיית קפלר

ציור 3

על ידי שימוש בעובדה כי וקטור לנץ ווקטור התנע הזוויתי נשמרים בבעיית קפלר, ניתן להראות כי וקטור התנע (או לחלופין וקטור המהירות) נע על גבי מעגל. חישוב המכפלה הווקטורית של L ו-A מניב משוואה עבור וקטור התנע:

$L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L}$

נקבע מערכת צירים בה ציר z בכיוון L וציר x בכיוון A, ונקבל כי מתקיים:

$p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}$

כלומר וקטור התנע נע על פני מעגל ברדיוס mk/L שמרכזו ב-(0, A/L) [ציור 3].

קבועי תנועה וסופראינטגביליות בבעיית קפלר

בבעיית קפלר קיימים שבעה קבועי תנועה (גדלים שמורים): האנרגיה E, שלושת רכיבי התנע הזוויתי L ושלושת רכיבי וקטור לנץ A. קיימים שני קשרים בין הגדלים הנ"ל - A · L = 0 ו- A² = m²k² + 2 m E L², כך שבסך הכל ישנם חמישה קבועי תנועה בלתי תלויים.

קישורים חיצוניים

• אופרטור רונגה-לנץ במכניקה הקוונטית, באתר רשימות בפיזיקה עיונית