וריאציית הפרמטר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

וריאצית הפרמטר (או וריאציית הפרמטרים) במתמטיקה, היא שיטה לפתירת משוואות דיפרציאליות לינאריות רגילות וחלקיות באופן שיטתי.

שכיח יותר לפתור משוואות ממעלה ראשונה באמצעות שיטת "גורם אינטגרציה" או בשיטת "השוואת מקדמים" משום ששיטות אלו דורשות פחות מאמץ. אך בניגוד לשיטת וריאצית הפרמטר, הן לעיתים דורשות לעשות שימוש ב"ניחוש מושכל" של הצבות (היוריסטיקה) והן גם לא פותרות באופן שיטטתי כל מד"ר.

היסטוריה

שיטת וריאציית הפרמטר הוצגה לראשונה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר והשלים אותה המתמטיקאי האיטלקי- ז'וזף לואי לגרנז'.[1] [2] [3]

דוגמאות

מד"ר מסדר ראשון

נתונה משוואה דיפרצניאלית מסדר ראשון. נסדר אותה באופן הבא, כשהיא "מנורמלת" (מקדם ערכו 1):

הפתרון הכללי של המשוואה מורכב מסכום הפתרון הפרטי של המשוואה ההומגנית המתאימה (הרשומה מטה) ומפתרון פרטי של המשוואה הלא-הומוגנית.

ראשית נמצא פתרון פרטי את המשוואה ההומוגנית המתאימה:

.

ניתן לפתור את המשוואה ההומגנית במגוון דרכים, ביניהן הפרדת משתנים:

כלומר, פתרון המשוואה ההומגנית הוא:

כעת נחזור למשוואה המקורית הלא-הומגנית:

נשתמש בשיטת וריאציית הפרמטר - באמצעות החלפת הפרמטר של הפתרון הפרטי בפונקציה

באמצעות הצבת הפתרון הפרטי לתוך המשוואה המקורית הלא-הומוגנית ניתן למצוא :

אנו נדרשים רק לפתרון פרטי, לכן נבחר לצורך פשטות. כאשר הפתרון הפרטי הוא:

לבסוף נסכום את שני הפתרונות הפרטיים שמצאנו לכדי פתרון כללי

מד"ר מסדר שני

הערות שוליים

  1. ^ Forest Ray Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (first published by the Macmillan Company in 1914; reprinted in 1970 by Dover Publications, Inc., Mineola, New York), page 431.
  2. ^ Edgar Odell Lovett (1899) "The theory of perturbations and Lie's theory of contact transformations," The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 30, pages 47-149; see especially pages 48-61.
  3. ^ Jupiter and Saturn.Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris" [Investigations on the question of the differences in the movement of Saturn and Jupiter; this subject proposed for the prize of 1748 by the Royal Academy of Sciences (Paris)] (Paris, France: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749).