זהות ויינשטיין-ארונסיין

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם $A\in M_{m\times n}(F)$ היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו- $B\in M_{n\times m}(F)$ היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת $\det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA)$ כאשר $I_{k}$ היא מטריצת היחידה מסדר k.

נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב, שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא ${\mathcal {O}}(k^{3})$ .

הוכחה

נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים: $\det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}$ אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כמכפלת מטריצות: ${\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=X\cdot Y$ כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה: $\det(XY)=\det(X)\det(Y)=\det(Y)\det(X)=\det(YX)$ ברם, $YX={\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}$ אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של מטריצת בלוקים נקבל $\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)$

ואם נסכם הכל: $\det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)$