זהות קאסיני

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, זהות קאסיני היא הזהות:

Fn+1Fn1Fn2=(1)n

כאשר Fk הוא האיבר ה-k בסדרת פיבונאצ'י.

לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

13582=6564=1

הזהות נקראת על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680.

הוכחה

ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:

קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:

[Fn+1FnFnFn1]=[1110]n

ולכן:

Fn1Fn+1Fn2=det[Fn+1FnFnFn1]=det[1110]n=(det[1110])n=(1)n

הכללות

אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

Fn2Fn+rFnr=(1)nrFr2

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה r=1.

סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

Fn+iFn+jFnFn+i+j=(1)nFiFj

כאשר מוסכם שלכל n טבעי: Fn=(1)n+1Fn (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה i=r,j=r.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

זהות קאסיני28439425Q25492745