זהות קאסיני

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, זהות קאסיני (על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680) היא הזהות:

כאשר האבר ה־ בסדרת פיבונאצ'י.

למשל, 5, 8, 13 הם אברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

הוכחה

ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:

קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:

הכללות

אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה . סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

כאשר מוסכם שלכל n טבעי (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה .

קישורים חיצוניים


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0