זהות קאסיני

במתמטיקה, זהות קאסיני (על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680) היא הזהות:

F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

כאשר $F_{k}$ האבר ה־ $k$ בסדרת פיבונאצ'י.

למשל, 5, 8, 13 הם אברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

13\cdot 5-8^{2}=65-64=1

הוכחה

ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:

קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}\\F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det {\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}=\left(\det {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\right)^{n}=(-1)^{n}\end{aligned}}

אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה $r=1$ . סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}

כאשר מוסכם שלכל n טבעי $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$ (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה $i=r,j=-r$ .