חוג ראשוני למחצה

בתורת החוגים, חוג ראשוני למחצה הוא חוג שאין לו אידאלים נילפוטנטיים לא טריוויאליים. החוגים הראשוניים למחצה הם משפחה רחבה ומרכזית בתורת החוגים, בשל הקשר שלהם לחוגים ראשוניים, ובגלל שלכל חוג יש מנה מקסימלית כזו, המתקבלת מחילוק ברדיקל הראשוני. חוג קומוטטיבי הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא מצומצם, כלומר, אין לו איברים נילפוטנטיים.

התכונות הבאות מאפיינות חוג ראשוני למחצה:

• אין בו אידאלים נילפוטנטיים;
• אין בו אידאלים חד-צדדיים נילפוטנטים;
• לכל אידאל $\ A\neq 0$, גם $\ A^{2}\neq 0$.

אידאל A של R הוא ראשוני למחצה, אם חוג המנה R/A ראשוני למחצה. חיתוך של אידאלים ראשוניים הוא אידאל ראשוני למחצה. חיתוך כל האידאלים הראשוניים (או הראשוניים למחצה, או הראשוניים המינימליים) של החוג הוא הרדיקל הראשוני שלו. גם רדיקלים חשובים אחרים - רדיקל לויצקי, הרדיקל הנילי העליון ורדיקל ג'ייקובסון - הם ראשוניים למחצה.

חוג ראשוני למחצה עשוי להכיל אידאלים שמאליים ניליים. בחוג PI ראשוני למחצה אין אידאלים שמאליים ניליים, ולכן הרדיקל הראשוני של כל חוג PI הוא האידאל השמאלי הנילי הגדול ביותר שלו.