חלחול (תהליך)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
פרקולציית אתר בשלושה ממדים כאשר הנקודות הכחולות הם אתרים מאולכסים.

חלחול (או פרקולציה) היא תיאוריה במכניקה סטטיסטית ומתמטיקה העוסקת בהיווצרות אשכולות בגרפים מקריים ובסריגים. במהלך חמשת העשורים האחרונים, מודל מתמטי נרחב של תהליך החלחול, הביא לתובנות וטכניקות חדשות במגוון תחומים רחב ביניהם: פיזיקה, הנדסת חומרים, רשתות מורכבות, אפידמיולוגיה וכן בגאוגרפיה.

אחד מהגורמים להתפתחות תאוריית החלחול בעשורים האחרונים הוא שהרבה מודלים של חלחול טרם נפתרו אנליטית, אולם השימוש במחשבים בפיזיקה ומתמטיקה ובפרט השימוש באנליזה נומרית וסימולציות הוביל לקבלת תוצאות חדשות שדחפו את התחום קדימה .

ייחוד התיאוריה היא בפשטות הגדרתה ובמגוון היישומים שלה בתחומים שונים. הסיבה לפשטותה בין היתר היא שתופעות כמו מעברי פאזה(שבירת סימטריה) מתגלות באופן טבעי וללא פיתוח רב.

נהוג להבחין בין שני סוגים של פרקולציה: פרקולציית קשר בה מייחסים להיווצרות הקשר בין שני אתרים הסתברות , ופרקולציית אתר בה מייחסים לאכלוס האתר עצמו הסתברות .

בנוסף, נמצא שהגדלים המרכזיים בתאוריית הפרקולציה הם אוניברסליים במובן שהם אמנם תלויים במימד של הסריג אבל אינם תלויים בסוג הסריג, תכונה חשובה המעידה על עקביות התיאוריה.

מודל פרקולצית אתר במימד אחד

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
סריג חד ממדי עם שישה אתרים בו האתרים האדומים מאוכלסים. בסריג זה שני אשכולות: הראשון בגודל 3 שכולל את אתרים 1-3 והשני בגודל 2 שכולל את אתרים 5-6. נשים לב שהאתר הרביעי לא מאוכלס ,ועל כן אין אשכול מחלחל(כי אין רצף אתרים מאוכלסים סמוכים מאתר 1 עד אתר 6).

מודל הפרקולציה במימד אחד פשטני ביותר, אך מדגים באופן יחסית פשוט מושגים בסיסיים שמופיעים גם בממדים גבוהים יותר.

במודל זה מסתכלים על סריג חד ממדי, סופי או אינסופי כך שלכל אתר בסריג יש הסתברות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} להיות מאוכלס והסתברות לא להיות מאוכלס. בנוסף ,אכלוס האתרים בלתי תלוי אחד בשני. אשכול מוגדר להיות קבוצה של אתרים מאוכלסים שסמוכים זה לזה כאשר גודל האשכול הוא מספר האתרים בתוך אשכול. על פי ההגדרה אתר מאוכלס הוא בהכרח חלק מאשכול (שגודלו 1 לפחות).

בעזרת ההגדרות לעיל ניתן לחשב את ההסתברות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} שמעליה יווצר בפעם הראשונה אשכול שעובר מצד אחד של הסריג לצד שני (ומכאן מקור השם חלחול). הסתברות זו נקראת הסתברות קריטית (או סף פרקולציה) שמסומנת בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c} (נשים לב שהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c} לא מוגדר היטב עבור סריג סופי כי גם עבור הסתברות שקרובה מאוד ל1 יכול להיות אתר לא מאוכלס).

במימד אחד כדי שיווצר "אשכול מחלחל" הוא חייב להיפרס מ הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty} עד ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty} . אם נסמן את ההסתברות שיווצר אשכול מחלחל בסריג באורך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} עם הסתברות אכלוס ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Pi(p,L)} אז יתקיים לפי הגדרה ש:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{L \to \infty}\Pi(p,L) = \left\{ \begin{array}{lr} 0 & p<p_c \\ 1 & p\ge p_c \end{array} \right.}

מצד שני ,בסריג באורך אינסופי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L\rightarrow \infty}  :

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{L \to \infty}\Pi(p,L) =\lim_{L \to \infty}p^L= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & p<1 \\ 1 & p=1 \end{array} \right.}

ולכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c=1} כצפוי. כאמור תוצאה זו התקבלה כי המודל מאוד פשטני, ובממדים גבוהים יותר יתאפשר לבחון את תכונות הסריגים בתחוםהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p>p_c} .

ההסתברות לקבל אשכול בגודל 4 היא מכפלה של ההסתברות שארבעה אתרים סמוכים יהיו מאוכלסים בהסתברות ששני האתרים הקיצוניים לא יהיו מאוכלסים.

הגדרה חשובה נוספת היא מספר האשכול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_s(p)} (Cluster number density) המתארת את ההסתברות שאתר כלשהו מהסריג כולו יהיה אתר מסוים מתוך האתרים שמרכיבים אשכול בגודל s. מכאן נובע שההסתברות שאתר יהיה שייך לאשכול בגודל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} היא : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_s(p)*s} (מכפילים ב s כי יש s אפשרויות להיות אתר באשכול בגודל s). בשימוש נוסחת ההסתברות השלמה ניתן גם להגיע לתוצאה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{s=1}^\infty sn_s(p)=p} [1].

הביטוי למספר האשכול בסריג במימד אחד הוא (ראה איור משמאל):

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_s(p)=(1-p)p^{s}(1-p)=(1-p)^{2}p^{s}=(1-p)^{2}*e^{ln(p^{s})}=(1-p)^{2}*e^{sln(p)}\equiv (1-p)^{2}*e^{-s/s_{\xi}}}

כאשר נוספה הגדרה חדשה- cutoff cluster: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{\xi}=\frac{-1}{ln(p)}} . נשים לב שגודל זה מתבדר כש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\to p_c=1} וכדי לראות את "עוצמת ההתבדרות" נהוג לרשום את התוצאה כקירוב בפיתוח טיילור כאשרהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\to p_c}  :הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{\xi}\simeq \frac{1}{p_c -p}}

במימד אחד האקספוננט של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (p_c-p)} הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} אך לא כך הדבר בממדים אחרים, ולכן מגדירים את האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{\xi}\propto|p_c-p|^{-1/\sigma}} .

לרוב נרצה לעשות סקאלינג לגדלים חדשים שנמצא, כלומר לתאר אותם כחוק חזקה כמו ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{\xi}} תואר.

פרקולציה בסריג בתה (Bethe)

סריג בתה עם 3=Z שכנים לכל אתר. המספרים של האתרים מסמנים את הדור שלהם

מודל הפרקולציה בסריג בתה שימושי לתיאור פרקולציה במימד אינסופי בגלל שתי התכונות הבאות:

  1. בסריג קובייתי אוקלידי במימד אינסופי, היחס בין מספר האתרים במעטפת למספר האתרים הכולל שואף למספר קבוע. בסריג בתה ,אם קוראים לקבוצת האתרים שבאותו מרחק מהראשית "דור" (ראה איור) אז ניתן להראות שכשהדור שואף לאינסוף היחס בין האתרים על המעטפת למספר האתרים הכולל גם הוא שואף למספר קבוע.
  2. בסריג קובייתי אוקלידי במימד אינסופי, ההסתברות ללולאות סגורות שואף לאפס ובסריג בתה זה מתקיים באופן ישיר עקב מבנה העץ שלו.

בנוסף ניתן לראות כי פרקולציה בסריג חד ממדי שקולה לפרקולציה בסריג בתה עם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z=2} .

כעת נשאלת השאלה מהי ההסתברות הקריטית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c} בה יווצר לראשונה אשכול מחלחל?

אם נתחיל מהאתר המרכזי וננוע החוצה בכל צעד ניתקל בעוד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z-1} שכנים חדשים. תנאי הכרחי לקבלת אשכול מחלחל הוא שבממוצע לפחות אחד מהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z-1} האתרים השכנים בכל צעד יהיה מאוכלס כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p*(z-1) \geq 1} , ולכן סף הפרקולציה יתקבל כאשר יש שוויון : . מיד ניתן לשים לב שבמקרה החד ממדי כש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=2} מקבלים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c=1} כפי שהוכחנו, ולדוגמה במקרה שZ=3 מקבלים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c=\frac{1}{2}} .

יתר על כן, במודל זה הטווח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p>pc} קיים בניגוד למודל החד ממדי.

מעבר פאזה בסריג בתה עם Z=3

ישנם מספר גדלים שמתאימים לתיאור של מעבר פאזה בסריג. אחד מהם הוא הגודל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(p)} שנקרא החוזק של אשכול אינסופי (או פרמטר סדר), והוא ההסתברות שאתר מסוים שייך לאשכול אינסופי.

נתחיל מהאתר המרכזי. נסמן ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} את ההסתברות שאתר לא מחובר לאינסוף בכיוון כלשהו ומכאן שההסתברות שהוא לא מחובר לאינסוף משום כיוון היא כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} הוא מספר השכנים בסריג. מכאן ברור שההסתברות שהוא כן מחובר לאינסוף היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-Q^z} . לבסוף מתייחסים להסתברות שגם הוא עצמו מאוכלס, ואם כך מתקבל שההסתברות שאתר מסוים שייך לאשכול אינסופי היא: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(p)=p*(1-Q^z)} .

נותר לגלות מהו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q(p)} . נניח שהתקדמנו מהמרכז לאורך ענף מסוים והגענו לאתר כלשהו. ההסתברות שהענף הזה אינו מגיע לאינסוף היא: או שהאתר לא מאוכלס בהסתברות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-p)} או שהוא מאוכלס אבל כל הענפים שלו (בגלל שהוא לא האתר המרכזי אז יש לו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z-1} ענפים) לא מובילים לאינסוף בהסתברות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pQ^{z-1}} ובסה"כ הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=(1-P)+pQ^{z-1}}

הפתרון של משוואה זו הוא : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q= \left\{ \begin{array}{lr} 1 & p<p_c \\ \frac{1-p}{p} & p>p_c \end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{lr} 1 & p<\frac{1}{2} \\ \frac{1-p}{p} & p>\frac{1}{2} \end{array} \right.} . נשים לב שתוצאה זו מאוששת ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c=\frac{1}{2}} כש Z=3.

מעבר הפאזה של פרמטר הסדר בסריג בתה עם Z=3.

כעת כשנציב את הגודל חזרה אל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(p)} נקבל שהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(p)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & p<p_c \\ p(1-(\frac{1-p}{p})^3)& p>p_c \end{array} \right.} .

נשים לב שמתחת לערך של תכונת החוזק נעלמת לגמרי בעוד שמעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_c=\frac{1}{2}} היא שונה מאפס.

כמו כן אפשר לראות ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{p\to p_c^{+}} P(P)=0=\lim_{p\to p_c^{-}}P(P)} , ולמעבר פאזה כזה קוראים מעבר פאזה מסדר ראשון.

לבסוף כש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \to p_c =\frac{1}{2}} האיבר המוביל מתכונתי ל כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} הוא אקספוננט קריטי נוסף שבמקרה זה ערכו הוא 1.


אפשר להשתמש בפרקולציה במודל בתה כאנלוגיה למעבר פאזה שרואים בחומרים מגנטיים. בחומר מגנטי, פרמטר הסדר הוא המגנטיזציה הספונטאנית ליחידת ספין המסומנת ב m שעבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T>T_c} הוא אפס ועבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T<T_c} שונה מאפס כאשר הטמפרטורה הקריטית היא טמפרטורת קירי. האנלוגיה לא שלמה במקרה זה כי האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} בפרומגנטים איננו 1.[2]

פיתוח יותר מדויק ניתן לעשות עם פרקולציה במודל פוטס(Potts)[3]

תיאור תכונות אלסטיות

ניתן להקנות לסריג תכונות אלסטיות כך שכל חיבור בין שני אתרים (שנקרא קשר) ייצג אלמנט אלסטי באופן לוקאלי, ובכך לתאר גדלים כמו מודל יאנג.

אם נסתכל על סריג דו ממדי עם שטח חתך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=L^2} הנמצא במישור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X-Y} ואורך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} בציר Z, על פי מודל יאנג יתקיים הקשר:

כאשר הכללנו את המשוואה ל d ממדים. כעת ניתן להגדיר את הגודל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=L^{d-2}E} בתור מקדם ההעברה ( באנ' compliance ).

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p<p_c} אין מסלול שמחבר צד אחד עם צד שני של הגביש (אין רצף אלסטי בין הצדדים), ולכן ניתן למתוח את הסריג ללא השקעת כוח כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=0} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p>p_c} יהיה לפחות אשכול מחלחל אחד ולכן הגודל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} לא יהיה אפסי. בנוסף במצב זה ניתן להגיע גם לחוק חזקה עבור E כך שמקבלים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{lr} 0 & p<p_c \\ (p-p_c)^{\tau}& p>p_c \end{array} \right.} הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\propto{}} .

נשים לב שזה מזכיר מעבר פאזה בין מוצק לנוזל בו עבור מצב נוזל מודל יאנג הוא אפס, ועבור מוצק מקבל ערך חיובי.

את האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} מחשבים בעזרת חישוב נומרי ולמשל בדו מימד סריג ריבועי אפשר להגיע להערכה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3.41\le \tau \le 3.77} . [4]

הגדרת האנטרופיה והחוק השני של התרמודינמיקה

על מנת להשתמש בתאוריית הפרקולציה לתיאור תופעות תרמודינמיות, עולה הצורך להגדיר את מקביליהם של הגדלים הבסיסיים בתרמודינמיקה כמו טמפרטורה ואנטרופיה. מוטיבציה נוספת להגדרת האנטרופיה היא שפרמטר הסדר, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(p)} מתאפס בכל התחום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<p\le p_c} , ומתבקש למצוא גודל שיתאר את רמת "אי-הסדר" בתחום בו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(p)=0} . במקרה של פרקולציה, הגדרה מתאימה תהיה אנטרופיית שאנון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p)=-\sum_{i}^m \mu_i log \mu_i} כאשר הגודל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu _i} הוא ההסתברות שאתר יהיה שייך לאשכול באינדקס i. קרי, אם עבור הסתברות אכלוס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} יש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=1,2,...,m} אשכולות שונים בגדלים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=s_1,s_2,...,s_m} בהתאמה אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_i=\frac{s_i}{\sum_{i=1}s_i}} (כאשר נזכור שגם אתר בודד נחשב אשכול בגודל 1).

נשים לב למספר תכונות ומסקנות חשובות שנובעות ההגדרת האנטרופיה:

  1. עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=0} כל האשכולות הם אתרים בודדים, לכןהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_i=\frac{1}{N}} כאשר N הוא מספר האתרים, ועבור הסתברות זו האנטרופיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=log[N]} מקסימלית.
  2. עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=1} כל האתרים שייכים לאשכול יחיד, לפיכך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_i=1} , וזה גורר שהאנטרופיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=0} מינימלית.
  3. משתי התכונות הקודמות טבעי להגדיר את הטמפרטורה כ הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-p} , ואכן נמצא שאם הטמפרטורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-p} גדלה אז האנטרופיה גדלה [5] כלומר הגדרת האנטרופיה בפרקולציה עקבית עם החוק השני של התרמודינמיקה. זו תוצאה נחוצה לתיאור תרמודינמי נכון.

שימוש בפרקולציה לתיאור התרמודינמיקה הוא נושא מודרני שמתפתח בשנים האחרונות, ועדיין ישנם חוקים בסיסיים בתרמודינמיקה שלא הוצגו בתיאור של פרקולציה.

לקריאה נוספת

  • Andres Malthe-Sorenssen, Percolation and Disordered Systems - A Numerical Approach
    • Béla Bollobás and Oliver Riordan,Percolation
    • Muhammad Sahimi,Applications of Percolation Theory

הערות שוליים

  1. ^ Dr. Kim Christensen, Percolation Theory, 2002, עמ' 8
  2. ^ Chikazumi, Sōshin (1997). Physics of Ferromagnetism, 1997, עמ' 128-129
  3. ^ Chin-Kun Hu, Percolation Theory of Phase Transitions in Spin Models, 1984
  4. ^ Anders Malthe-Sorenssen, Percolation and Disordered Systems – A Numerical Approach, 2015, עמ' 158-159
  5. ^
    שגיאות פרמטריות בתבנית:צ-מאמר

    פרמטרי חובה [ מחבר ] חסרים
    , [https://arxiv.org/pdf/1810.00633.pdf Redefinition of site percolation in light of entropy and the second law of thermodynamics]
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0