נוסחת ההסתברות השלמה

נוסחת ההסתברות השלמה היא אחת הנוסחאות האלמנטריות בתורת ההסתברות. היא מאפשרת לחשב הסתברות של מאורעות מסובכים, על ידי פירוק מרחב ההסתברות למרכיבים זרים, וחישוב ההסתברות בכל אחד מהם בפני עצמו. לדוגמה, אם ידוע ש-20% מהנשים תומכות בדעה מסוימת ובקרב הגברים תומכים בה רק 12%, אז הסיכוי שאדם שנבחר באקראי יתמוך בדעה זו הוא הממוצע, 16%. הנוסחה משקללת את ההסתברויות המתאימות על-פי משקלן של אוכלוסיות המשנה (נשים וגברים, שבדוגמה זו יש להן אותו משקל) באוכלוסייה הכללית.

בגרסתה הפשוטה ביותר, הנוסחה מפרקת את מרחב ההסתברות $\ \Omega$ כאיחוד של קבוצה A עם המשלימה שלה: $\ \Omega =A\cup A^{c}$ . במקרה זה הנוסחה קובעת שלכל מאורע B מתקיים

\ P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|A^{c})\cdot P(A^{c})

,

כאשר $\ P(B|A)$ היא ההסתברות המותנית.

במקרה הכללי ביותר מפרקים את המרחב לאיחוד זר של מאורעות $\ \Omega =A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ (אולי אפילו אינסופי, אך בן מנייה), ואז מתקיים $\ P(B)=\sum _{i}P(B|A_{i})P(A_{i})$ .

הוכחת הנוסחה מיידית מהגדרת ההסתברות המותנית והאקסיומות של קולמוגורב למרחבי הסתברות: $\ \sum _{i}P(B|A_{i})P(A_{i})=\sum _{i}P(B\cap A_{i})=P(\cup _{i}(B\cap A_{i}))=P(B)$ מכיוון ש-B היא איחוד זר של המרכיבים $\ B\cap A_{i}$ .