טטרציה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

גרף הפונקציה

במתמטיקה, טֶטְרָצְיָהאנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון או כאשר הוא הבסיס ו- הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-־ית של היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:
    

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

מבוא

ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית ירושה (אנ'), המוגדרת כ- נחשבת להיפר-פעולה האפס.

  1. חיבור:
  2. כפל:
  3. חזקה:
  4. טטרציה:

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, משמעותו ולא .

תכונות

  • כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות ו אינן נכונות ברוב המקרים.[1]
  • בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
  • בדומה לחזקה, מתקיים כי ו
  • מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה:
  • ממהגדרה למעלה נובע כי: מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

הכללות

את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.

הכללת הבסיס

בסיס אפס

החזקה אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול מוגדר וקיים:[2]

ולכן, ניתן להגדיר כי

בסיס מרוכב

מאחר וניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה .

לדוגמה, עבור כאשר , ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי:

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את באמצעות :

הכללת הגובה

גובה אינסופי

ערכי הגבול , שמתכנס רק עבור

ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול . זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי מתכנס עבור .

גובה שלילי שלם

באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

ניתן למצוא את :

אם במקום k נציב -1 נקבל:

ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:

וזהו מספר שאינו מוגדר.

פעולות הופכיות

לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

סופר-שורש

הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם אז הוא הסופר-שורש ה-־י של , והוא יסומן בצורה

לדוגמה, אם אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 ().

סופר-שורש ריבועי

גרף הפונקציה

הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה , או בפשטות .

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה , וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה (אנ'):[3]

סופר-לוגריתם

הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם אז הוא הסופר-לוגריתם מבסיס של , והוא יסומן בצורה . פונקציה זו מוגדרת עבור כל .

תכונות

  • לכל ממשי מתקיים

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא טטרציה בוויקישיתוף
  • טטרציה, באתר MathWorld (באנגלית)   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

  1. ^ Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, ‏2014
  2. ^ George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, ‏5 בינואר 2015
  3. ^ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, ‏1996
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0