פעולה בינארית

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פעולה בינארית (או אופרטור בינארי) היא פעולה מתמטית המתבצעת בין שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה).

הגדרה פורמלית

פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה אל הקבוצה, ובסימון מתמטי: עבור הקבוצה פעולה בינארית היא פונקציה מהמכפלה הקרטזית של הקבוצה בעצמה, אל הקבוצה: . לעתים היא פונקציה חלקית, למשל לא ניתן לחלק באפס.

פעולות בינאריות הן הבסיס למבנים אלגבריים הנחקרים במסגרת האלגברה המופשטת. מבנים העוסקים בפעולות בינאריות הם חבורה, חוג, שדה ועוד. פעולה בינארית מסומנת פעמים רבות בין שני האיברים שעליהם היא פועלת, למשל, אופרטור החיבור נכתב , ולא בכתיב הפונקציונלי . לפעולות בינאריות על קבוצות סופיות יש טבלת פעולה.

תכונות

פעולות בינאריות הן פעמים רבות קומוטטיביות או אסוציאטיביות. פעמים רבות יש בהן איבר אדיש ואיבר הופכי. נדגים מושגים אלה באמצעות פעולה שנסמנה הפועלת על קבוצה  :

  • פעולה המקיימת לכל נקראת פעולה חילופית (קומוטטיבית).
  • פעולה המקיימת לכל נקראת פעולה אסוציאטיבית (חוק הקיבוץ).
  • אם קיים עבורו לכל מתקיים , אז הוא נקרא איבר אדיש (או נייטרלי) כלפי הפעולה. לפי ההקשר, איבר אדיש יכונה איבר יחידה או איבר האפס, ויסומן כ־1, כ־0, כ־ או כ־ .
  • אם קיים איבר אדיש לפעולה, אז איבר ההופכי לאיבר הוא איבר עבורו . האיבר ההופכי מסומן לרוב או .

דוגמאות

חיבור, חיסור, כפל וחילוק הן פעולות בינאריות מוכרות וידועות. גם כפל מטריצות הוא פעולה בינארית. שרשור מחרוזות, כלומר פעולה הלוקחת שתי מחרוזות של תווים ומצמידה אותן זו לזו, היא דוגמה נוספת לפעולה בינארית.

טבלת פעולה של החיבור על {1,2,3,4,5,6}

6 5 4 3 2 1 +
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6

ראו גם

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0