טרינום

באלגברה אלמנטרית, טרִינוֹם הוא פולינום המורכב משלושה איברים או מונומים.

ביטויים טרינומיים

1. $3x+5y+8z$ עם המשתנים $x,y,z$
2. $3t+9s^{2}+3y^{3}$ עם המשתנים $t,s,y$
3. $3ts+9t+5s$ עם המשתנים $t,s$
4. $Ax^{a}y^{b}z^{c}+Bt+Cs$ עם המשתנים $x,y,z,t,s$, $a,b,c$ מספרים שלמים אי שליליים ו-$A,B,C$ קבועים ממשיים.
5. $Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}$ כש-$x$ הוא משתנה $a,b,c$ הם קבועים שלמים אי שליליים ו-$P,Q,R$ קבועים ממשיים.

משוואה טרינומית

משוואה טרינומית היא משוואה פולינומית הכוללת שלושה איברים. דוגמה לכך היא המשוואה $x=q+x^{m}$ ‎שנחקרה על ידי יוהאן היינריך למברט במאה ה-18.

מקרה פרטי: טרינום ריבועי

בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: $ax^{2}+bx+c$.

במקרים אלו נחפש שני מספרים $a_{1},\ a_{2}$ המקיימים את השיוויונות $a_{1}\cdot a_{2}=ac,\ a_{1}+a_{2}=b$.

שכן אז ניתן לפרק כך: $ax^{2}+bx+c=ax^{2}+a_{1}x+a_{2}x+c=ax(x+{\frac {a_{1}}{a}})+a_{2}(x+{\frac {c}{a_{2}}})=(ax+a_{2})(x+{\frac {a_{1}}{a}})$.

(השיוויון $a_{1}\cdot a_{2}=ac$ גורר את השיוויון ${\frac {a_{1}}{a}}={\frac {c}{a_{2}}}$ ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף $(x+{\frac {a_{1}}{a}})=(x+{\frac {c}{a_{2}}})$).

לדוגמה, הפולינום $x^{2}+3x+2$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $x_{1}=-1,\ x_{2}=-2$. לפי הפירוק הטרינומי:

נחפש שני מספרים $a_{1},\ a_{2}$ שמקיימים את השיוויונות $a_{1}+a_{2}=3,\ a_{1}\cdot a_{2}=2$. המספרים $a_{1}=1,\ a_{2}=2$ מקיימים את השיוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך: $x^{2}+3x+2=x^{2}+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+2)(x+1)$.

ונקבל מהפירוק שהשורשים של הפולינום הם $x_{1}=-1,\ x_{2}=-2$.

דוגמה נוספת, הפולינום $3x^{2}-2x-5$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ-1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}$. לפי הפירוק הטרינומי:

נחפש שני מספרים $a_{1},\ a_{2}$ שמקיימים את השיוויונות $a_{1}+a_{2}=-2,\ a_{1}\cdot a_{2}=-15$, המספרים $a_{1}=-5,\ a_{2}=3$ מקיימים את השיוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

$3x^{2}-2x-5=3x^{2}+3x-5x-5=3x(x+1)-5(x+1)=(3x-5)(x+1)$.

ונקבל מהפירוק שהשורשים של הפולינום הם $x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}$.

אותה תוצאה יכולה להינתן על ידי חוק רופיני, אך עם תהליך מורכב וארוך יותר.

קישורים חיצוניים

• טרינום, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28245211טרינום