יציבות במובן ליאפונוב

יציבות במובן ליאפונוב מתייחסת ליציבות של משוואות דיפרנציאליות עבור מערכת דינמיות. התאוריה הבסיסית מתייחסת ליציבות של נקודת שיווי משקל (נש"מ) של המערכת ${\dot {x}}=f(x)$, כלומר מערכת ללא כניסה חיצונית. ניתוח היציבות מבוסס על "פונקציית אנרגיה" חיובית של המערכת $V(x)$, אשר ערכה יורד עם הזמן לאורך מסלולי המערכת. פונקציה כזאת תקרא "פונקציית ליאפונוב".

היסטוריה

המונח יציבות במובן ליאפונוב נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב אשר פרסם את ספרו הבעיה הכללית של יציבות בתנועה בשנת 1892. ליאפונוב היה הראשון שלקח בחשבון את כך שדרושה התאמה מסוימת עבור מערכת לא לינארית על מנת שיהיה ניתן להשתמש בתאורית היציבות של מערכות לינאריות עבורה. דבר זה נעשה על ידי לינאריזציה של המערכת בסביבת הנש"מ. עבודתו שתחילה פורסמה ברוסית ולאחר מכן תורגמה לצרפתית זכתה למעט תשומת לב לאורך שנים רבות. השינוי החל בתקופת המלחמה הקרה כאשר השיטה המכונה "השיטה העקיפה של ליאפונוב" נמצאה בעלת ערך רב עבור יציבות של מערכות ניווט אוויריות אשר בדרך כלל הינן לא לינאריות בצורה חזקה ולא ניתנות לפתרון באמצעות שיטות אחרות.

יציבות מקומית של נש"מ

נניח שהמערכת הינה n ממדית וללא כניסה חיצונית ${\dot {x}}=f(x),x\in {\mathcal {R}}^{n}$.

נש"מ-נקודת שיווי משקל (equilibrium point): הנש"מ של המערכת ${\dot {x}}=f(x)$ מוגדרת כנקודה הנמצאת במישור המצב $x_{e}\in {\mathcal {R}}^{n}$ ומקיימת את האילוץ $f(x_{e})=0$. עבור מערכת לא לינארית יכול להיות מספר כלשהו (כולל 0) של נש"מ.

יציבות במובן ליאפונוב: הנש"מ $x_{e}$ תקרא יציבה במובן ליאפונוב אם:

$\forall R>0\ \exists r>0:||x(0)-x_{e}||<r\Rightarrow ||x(t)-x_{e}||<R,\forall t>0$

משמעות הביטוי המתמטי במילים פשוטות הוא שעל מסלול המערכת $x(t)$ להשאר "בקרבת הנש"מ" אך לא בהכרח להתכנס אליה. יש לציין שהגדרה זו היא הגדרת היציבות החלשה ביותר. נש"מ שאיננה יציבה על פי הגדרה זו תקרא בלתי יציבה (Unstable).

יציבות אסימפטוטית: הנש"מ $x_{e}$ תוגדר כיציבה אסימפטוטית אם:

1. היא יציבה במובן ליאפונוב
2. $||x(0)-x_{e}||<r\Rightarrow lim_{t\to \infty }x(t)=x_{e}$

במילים פשוטות המערכת יציבה אסימפטוטית עם מסלול המערכת יציב במובן ליאפונוב ובנוסף לכך המסלול מתכנס בסוף התהליך לנש"מ.

השיטה הישירה של ליאפונוב

נניח כמקודם שהמערכת הינה n ממדית וללא כניסה חיצונית ${\dot {x}}=f(x),x\in {\mathcal {R}}^{n}$ ובעלת הנש"מ $x_{e}$.

לשם הפשטות נניח כי $x_{e}=0$, ניתן להראות שההכללה לנש"מ $x_{e}$ נעשית בפשטות יחסית על ידי הזזת קוארדינטות, דוגמה לכך ניתן למצוא בספר Nonlinear system. נניח המערכת $f(x)$ רציפה

$\forall x\ni L|f(x)-f(y)|<L(x-y)\ for\ all\ y\ in\ some\ neighborhood\ of\ x$

נניח פונקציה $V(x)$ (תסומן כפונקציית ליאפונוב) אשר גזירה ברציפות בכל התחום הדרוש.

הגדרת נגזרת לאורך מסלול המערכת:

נגדיר: ${\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))\mid _{x(t)=x}$, כאשר $x(t)$ מסלול כלשהו של המערכת ${\dot {x}}=f(x)$.

זוהי הנגזרת של הפונקציה $V(x(t))$ אשר מחושבת בנקודה $x(t)=x$.

על ידי השימוש בנוסחת הגזירה עבור הרכב פונקציות נקבל לבסוף את הביטוי הבא:

${\dot {V}}(x)={\frac {dV(x)}{dx}}\cdot f(x)={\begin{bmatrix}{\frac {dV}{dx_{1}}},\cdots ,{\frac {dV}{dx_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{n}(x)\end{bmatrix}}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {dV(x)}{dx_{i}}}f_{i}(x)$

${\dot {V}}(x)$ היא פונקציה של המצב $x$ ולא של הזמן $t$. פונקציה זו מוגדרת כ: הנגזרת של $V$ לאורך מסלולי המערכת השונים.

משפט - יציבות מקומית

תהי $x_{e}=0$ הנש"מ של המערכת ${\dot {x}}=f(x)$.

תהי $C$ סביבה פתוחה כלשהי של הראשית

1. נניח כי $V:C\to {\mathcal {R}}^{n}$ גזירה ברציפות ב $C$ ומקיימת:
   1. $V(0)=0$, $V(x)>0$ עבור $x\neq 0$.
   2. ${\dot {V}}(x)\leq 0$ .

אזי $x_{e}$ הנה נש"מ יציבה (במובן ליאפונוב).

1. אם במקום ${\dot {V}}(x)\leq 0$ מתקיים ${\dot {V}}(x)<0$ עבור $x\neq 0$.

אזי $x_{e}$ הנה נש"מ יציבה אסימפטוטית.

את ההוכחה המלאה למשפט ניתן למצוא בספר Nonlinear system

ניתן לראות בפונקציית ליאפונוב מעין "פונקציית אנרגיה" של המערכת, אם כי אין בהכרח קשר לאנרגיה הפיזיקלית.

יש לציין שהקושי העיקרי בשיטת ליאפונוב הוא במציאת פונקציית ליאפונוב מתאימה.

דוגמה:

${\dot {x}}=f(x)={\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)-x_{1}x_{2}^{2}\\{\dot {x}}_{2}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)\end{cases}}$

נבחר את פונקציית ליאפונוב $V(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

ניתן לראות כי $V(0)=0$ וכי $V(x)>0$ עבור כל $x\neq 0$

כמו כן: ${\dot {V}}(x)=2x_{1}f_{1}(x)+2x_{2}f_{2}(x)=2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)$

לכן ${\dot {V}}(x)<0$ עבור כל ערך הנמצא התחום $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})<2$ ומכאן כי הנש"מ של המערכת $x_{e}=0$ יציבה אסימפטוטית.

קיום פונקציית ליאפונוב

אחת מן השאלות העולות האם עבור כל נש"מ יציבה (אסימפטוטית) ניתן למצוא פונקציית ליאפונוב?

התשובה לשאלה זאת היא חיובית, אולם יש לציין שהבעיה העיקרית שההוכחה של עובדה זו אינה קונסטרוקטיבית, כלומר שההוכחה אינה מראה כיצד ניתן למצוא פונקציה זו.

לינאריזציה מקומית (השיטה העקיפה של ליאפונוב)

ניתן לקבוע יציבות מקומית של נש"מ המערכת באמצעות לינאריזציה של המערכת סביב לנש"מ. שיטה זו ידועה גם בשם "השיטה העקיפה של ליאפונוב"

נתבונן במערכת הלינארית ${\dot {x}}=Ax$ בעלת הנש"מ $x_{e}=0$. עבור המערכת מתקיים המשפט הבא:

• הנש"מ של המערכת ${\dot {x}}=Ax$ יציבה אסימפטוטית אם ורק אם $Re(\lambda _{i})<0$ עבור כל $i$.

הערה: את ההוכחה עצמה ניתן למצוא בספרות

הסבר: ניקח את המערכת ${\dot {x}}=f(x)$, בעלת הנש"מ $x_{e}$ כלומר $f(x_{e})=0$. כמו כן נניח שהמערכת $f(x)$ הינה בעלת נגזרות רציפות בסביבת הנש"מ.

מכיוון ש $f(x_{e})=0$, אזי פיתוח טור טיילור מסדר ראשון של המערכת מסביב לנש"מ נותן:

$f(x)=A(x-x_{e})+higher\quad powers\quad of(x-x_{e})$

כאשר $A={\frac {df}{dx}}\mid _{x=x_{e}}={\begin{bmatrix}{\frac {df_{1}}{dx_{1}}}&,\cdots ,&{\frac {df_{1}}{dx_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {df_{n}}{dx_{1}}}&,\cdots ,&{\frac {df_{n}}{dx_{n}}}\end{bmatrix}}_{x=x_{e}}$

כלומר ש$A$ היא מטריצת היעקוביאן של המערכת בנש"מ $x_{e}$.

משפט: $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ הינם הערכים העצמים של מטריצה $A$

• הנש"מ $x_{e}$ הינה יציבה אסימפטוטית אם $Re(\lambda _{i})<0$ עבור כל $i$.
• הנש"מ $x_{e}$ הינה בלתי יציבה אם $Re(\lambda _{i})>0$ עבור $i$ כלשהו.
• במקרה גבולי בו $Re(\lambda _{i})=0$ עבור $i$ כלשהו (בעוד כל השאר שליליים), לא ניתן לקבוע יציבות באמצעות שיטה זו.

יציבות גלובאלית ואגן משיכה

יציבות גלובאלית

בחלקים הקודמים הגדרות היציבות היו בעלות אופי מקומי, כלומר אפיינו את התנהגות המערכת בסביבת הנש"מ.

בחלק זה תוגדר יציבות המערכת המתקיימות עבור כל תנאי ההתחלה.

הנש"מ $x_{e}$ תוגדר כיציבה אסימפטוטית גלובאלית אם ההתכנסות $x(t)\to x_{e}$ מובטחת עבור כל תנאי ההתחלה בתחום $x(0)\in {\mathcal {R}}^{n}$.

משפט יציבות גלובאלית

נניח כי $V(x)$ מוגדרת על ${\mathcal {R}}^{n}$ ובעלת נגזרות רציפות בכל התחום ומקיימת:

1. $V(0)=0$, $V(x)>0$ עבור כל $x\neq 0$.
2. ${\dot {V}}(x)<0$ עבור כל $x\neq 0$.
3. $V(x)\to \infty$ כאשר $||x||\to \infty$.

אזי הנש"מ $x_{e}$ יציבה אסימפטוטית גלובאלית.

הערות:

• נש"מ יציבה גלובאלית היא יחידה.
• במערכת לינארית יציבות גלובאלית מתלכדת עם יציבות מקומית.

דוגמה:

${\dot {x}}=f(x)={\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}=x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\\{\dot {x}}_{2}=-x_{1}-x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{cases}}$

נבדוק את פונקציית ליאפונוב הבאה: $V(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$\Rightarrow {\dot {V}}(x)=2x_{1}f_{1}(x)+2x_{2}f_{2}(x)=-2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}$

ניתן לראות שמתקיימים תנאי המשפט והנש"מ $x_{e}=0$ יציבה אסימפטוטית גלובאלית.

אגן משיכה

גם במקרה בו הנש"מ של המערכת אינה יציבה באופן גלובאלי ישנה חשיבות להערכת "אגן המשיכה" שלה. כלומר מהן אוסף הנקודות במרחב מהן קיימת התכנסות לנש"מ זו.

הגדרה: תהי $x_{e}$ נש"מ. אגן המשיכה של $x_{e}$ הינה הקבוצה המקסימלית $\Omega$ כך ש:

$x(0)\in \Omega$ גוררת $lim_{t\to \infty }x(t)=x_{e}$ כל תת-קבוצה של $\Omega$ תקרא אגן משיכה של $x_{e}$.

משפט: אגן משיכה של נש"מ יציבה

נניח כי בסביבה כלשהי של הראשית $(C)$ מתקיימים תנאי משפט ליאפונוב ליציבות אסימפטוטית (מקומית).

יהי $a>0$ (רצוי גדול ככל האפשר) כך שמתקיים: $\Omega _{a}:=\left\{x:{\mathcal {R}}^{n}:V(x)<a\right\}\subset C$

אזי $\Omega _{a}$ הינה אגן המשיכה של הנש"מ $x_{e}$.

דוגמה:

ניקח את הדוגמה שהוצגה קודם:

${\dot {x}}=f(x)={\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)-x_{1}x_{2}^{2}\\{\dot {x}}_{2}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)\end{cases}}$

פונקציית ליאפונוב הינה $V(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ כאשר הנגזרת היא ${\dot {V}}(x)=2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)$.

תנאי המשפט מתקיימים עבור $\Omega _{a}=C=\left\{x:||x||<{\sqrt {2}}\right\}$ ולכן זהו תחום המשיכה של הנש"מ $x_{e}=0$.

יציבות אקספוננציאלית

ההגדרות עבור יציבות המערכת עד כה הוצגו ללא כל דרישה לגבי קצב התכנסות המערכת לנש"מ. בפרק זה יוגדר קצב התכנסות אקספוננציאלי.

הגדרה: הנש"מ $x_{e}$ היא יציבה אקספוננציאלית אם קיימים מספרים $A_{0}$, $\lambda >0$ כך שעבור $r>0$ כלשהו ועבור $x(0)$ המקיים $||x(0)-x_{e}||<r$ נקבל: $||x(t)-x_{e}||\leq A_{0}||x(0)-x_{e}||e^{\lambda t},\quad t>0$

הנש"מ $x_{e}$ היא יציבה אקספוננציאלית גלובלית אם החסם האקספוננציאלי על $x(t)$ מתקיים לכל $x(0)\in {\mathcal {R}}^{n}$

דוגמה:

${\dot {x}}=-x$

$x(t)=x(0)e^{-t}$

$|x(t)|=|x(0)|e^{-t}$

ניתן לראות שההתכנסות לנש"מ המערכת הינה יציבה אקספונניציאלית.

הערה: ניתן להראות כי במערכת לינארית, יציבות אסימפטוטית גוררת יציבות אקספוננציאלית.

משפט: יציבות אקספננוציאלית

• תהיי פונקציית ליאפונוב $V(x)$ גזירה ורציפה בסביבה $C$ של הראשית. נניח כי קיימים קבועים חיובים $C_{1}$ ו-$\alpha$ כך ש: $c_{1}||x||^{\alpha }\leq V(x)\leq c_{2}||x||^{\alpha },\quad ||{\dot {V}}(x)||\leq -c_{3}||x||^{\alpha }$ עבור כל $x\in C$ אזי הנש"מ $x_{e}$ הינה יציבה אקספוננציאלית.
• אם הנ"ל מתקיים עבור כל $x\in {\mathcal {R}}^{n}$ אזי הנש"מ יציבה אקספוננציאלית גלובאלית.

פונקציית ליאפונוב למערכות לינאריות

ניקח את המערכת הלינארית ${\dot {x}}=Ax$. נניח שהמערכת בראשית יציבה אסימפטוטית, כלומר $Re(\lambda _{i}(A))<0$.

עבור המערכת הנ"ל קיימות מספר שיטות למציאת פונקציית ליאפונוב.

תבניות ריבועיות ומטריצות חיוביות

תהי $P$ מטריצה סימטרית בגודל $n\times n$

המטריצה $P$ מגדירה תבנית ריבועית בוקטור המשתנים - $x$, כלומר $f(x)=x^{T}PX=\sum _{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}$. כל תבנית ריבועית ניתן להגדיר באמצעות מטריצה סימטרית $P=P^{T}$.

ננסה למצוא את פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הלינארית ${\dot {x}}=Ax$ באמצעות הפונקציה הבאה $V(x)=x^{T}Px$. עבור קבלת $V(x)>0$ נדרוש שמטריצת $P$ תהיה מוגדרת כסימטרית וחיובית $P>0$.

עבור התנאי השני נחשב את ${\dot {V}}$.

${\dot {V}}(x)={\frac {dv}{dx}}\cdot f(x)=(x^{T}P+x^{T}P^{T})Ax=x^{T}(A^{T}P+PA)x$.

נסמן $A^{T}P+PA=-Q$ אזי ${\dot {V}}(x)=-x^{T}Qx$ ועל מנת לקיים את התנאי $({\dot {V}}\leq 0)$ נדרוש $Q>0$. ניתן לראות שהמטרה היא מציאת $P>0$ שיבטיח $Q>0$.

משוואות ליאפונוב

נניח שהמערכת $A$ יציבה כלומר $Re(\lambda _{i}(A))<0$ עבור כל $i$.

תהיי $Q>0$ כלשהי, נתבונן במשוואה:

$(*)\quad A^{T}P+PA=-Q$

אזי:

1. למשוואה זו פתרון $P$ סימטרי יחיד.
2. פתרון זה הינו חיובי $(P>0)$.
3. פתרון $(P>0)$ קיים אם ורק אם $A$ יציבה.

המשוואה (*) נקראת משוואת ליאפונוב. ניתן לראות כי זוהי משוואה לינארית באיברי המטריצה $P$.

סיכום:

על מנת למצוא פונקציית ליאפונוב עבור מערכת הלינארית ${\dot {x}}=Ax$ נעשה את השלבים הבאים:

1. נבחר מטריצה כלשהי $Q>0$.
2. נפתור את משוואת ליאפונוב $A^{T}P+PA=-Q$, נקבל פתרון אם ורק אם $A$ יציבה.
3. נבחר $V(x)=x^{T}Px$. פונקציה זו מקיימת $V(x)>0$ וכן את ${\dot {V}}(x)=-x^{T}Qx$ עבור $x\neq 0$ .

דוגמה:

נתונה המערכת הבאה ${\dot {x}}=Ax={\begin{bmatrix}0&4\\-8&-12\end{bmatrix}}x$

נבחר $Q=I$ ונקבל את פונקציית ליאפונוב הבאה $A^{T}P+PA=-I$

${\begin{bmatrix}0&-8\\4&-12\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{3}\\p_{3}&p_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{3}\\p_{3}&p_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&4\\-8&-12\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

מפתרון המערכת נקבל ש: $p_{3}={\frac {1}{16}}$, $p_{2}={\frac {1}{16}}$, $p_{1}={\frac {5}{16}}$ כלומר ש $P={\frac {1}{16}}{\begin{bmatrix}5&1\\1&1\end{bmatrix}}>0$ והמערכת הינה יציבה.

מציאת פונקציית ליאפונוב עבור מערכות לא-לינאריות

כנכתב מקודם הקושי העיקרי הוא מציאת פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הלא לינארית ${\dot {x}}=f(x)$. יש לציין שלא קיימת שיטה כללית שהצלחתה מובטחת. בפרק זה יתוארו מספר שיטות אפשריות.

פונקציות ריבועיות - quadratic Lyapunov function

נקודת התחלה אפשרית היא התבנית הריבועית $V(x)=x^{T}Px$ כאשר $P>0$ (מוגדרת כמטריצה חיובית). בפרט ניתן להתחיל מהמקרה האלכסוני: $V(x)=\sum \alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}>0$. דרוש לבדוק האם $P$ מקיימת את האילוץ הבא ${\dot {V}}(x)=2x^{T}Pf(x)<0$. דרך אחת למציאת $P$ מתאימה היא באמצעות לינארזיציה. עבור $\left|A={\frac {df}{dx}}\right|_{x=0}$

נגדיר $Q>0$ ונבחר $P$ כך ש $A^{T}P+PA=-Q$.

גישה זו תצליח תמיד כאשר $A$יציבה (כלומר שהמערכת הינה יציבה אסימפטוטית בסביבת הנש"מ) אולם היא אינה בהכרח מביאה לאגן משיכה מיטבי.

שיטת קרקובסקי - Krasovskii method

בגרסה הבסיסית הפונקציה המוצעת הינה $V(x)=f(x)^{T}f(x)$. נגדיר $A={\frac {df(x)}{dx}},\quad F(x)=A(x)+A(x)^{T}$

הטענה הבסיסית היא כי אם $F(0)<0$ בסביבת הראשית, אזי $V(x)$ הינה פונקציית ליאפונוב ו$x_{e}$ הינה יציבה אסימפטוטית.

יתרה מזאת, אם $F(x)<0$ ב"כדור" המקיף את הראשית, אזי כדור זה הינו אגן המשיכה של הראשית.

בכלליות יותר ניתן להשתמש גם במטריצה $P>0$ כך ש $F(x)=A(x)P+PA(x)^{T}$ בסביבת הראשית.

הסתמכות על שיקולים פיסקאליים

לעיתים ניתן לגזור פונקציית ליאפונוב מתוך "הבנה פיזיקלית" של הבעיה, דוגמה בולטת היא פונקציית אנרגיה במערכות מכניות.

דוגמה: מערכת מטוטלת

ניקח בתור דוגמה מטוטלת בעלת חיכוך ויסקוזי $B>0$ . הפרמטרים $m,l$ מתארים את אורך הזרוע והמסה בהתאמה והפרמטר $g$ מתאר את כוח המשיכה.

משוואות התנועה של המערכת הן:

${\begin{matrix}x_{1}=\theta \\x_{2}={\dot {\theta }}\end{matrix}}\ \to \ {\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}=x_{2}\\{\dot {x_{2}}}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {B}{m}}x_{2}\end{matrix}}$

את פונקציית ליאפונוב נבחר משיקולים פיזיקליים כפונקציית האנרגיה (המנורמלת):

$V(x)={\frac {1}{ml^{2}}}(E_{p}+E_{k})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {x_{2}^{2}}{2}},(\geq 0)$

מכאן נקבל ש:

${\dot {V}}(x)={\frac {dv}{dx_{1}}}f1(x)+{\frac {dv}{dx_{2}}}f2(x)={\frac {g}{l}}\sin(x_{1})x_{2}+x_{2}(-{\frac {g}{l}}\sin(x_{1})-{\frac {B}{m}}x_{2})=-{\frac {B}{m}}x_{2}^{2}\leq 0$

ניתן לראות שהמערכת יציבה במובן ליאפונוב.

יציבות זמן בדיד

עד חלק זה הוצגה התאוריה עבור מערכות רציפות בזמן. ניתן לפתח תוצאות דומות גם

למערכות בזמן בדיד, כאשר הפרטים הטכניים פה לרוב פשוטים יותר.

נתבונן במערכת מצב בזמן בדיד:

$x_{k+1}=f(x_{k}),\quad k\geq 0$

גם במקרה זה נחפש פונקציית ליאפונוב $V(x)$ המקבלת מינימום בנש"מ $x_{e}=0$ ויורדת עבור מסלולי המערכת השונים.

הדרישה הראשונה זהה לזמן רציף

• $V(0)=0$, $V(x)>0$ עבור $x\neq 0$.

לעומת זאת הדרישה השנייה משתנה ל:

• $V(x_{k+1})-V(x_{k}))=V(f(x_{k}))-V(x_{k}))=\Delta V(x_{k})$

במילים אחרות החלפנו את הדרישה ${\dot {V}}(x)\leq 0$ בדרישה $\Delta V(x)\leq 0$

יש לציין כי משוואות ליאפונוב למערכות לינאריות בזמן רציף $A^{T}P+PA=-Q$ מוחלפת בזמן בדיד עם המשוואה הבאה $A^{T}PA-P=-Q$.

לקריאה נוספת

• Hassan K.Khalil, Nonlinear system Third edition, Prentice Hall, 2002
• Nonlinear Systems, Analysis, Stabilty and control, Shankar Sastry, Springer,1992

קישורים חיצוניים

• תורת הבקרה/שיטת ליאפונוב בויקספר
• משוואת ליאפונוב באמצעות Matlab