לוקליזציה (תורת החוגים)

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש *R והעתקת חוגים מ-R ל-*R כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R. יתר על כן, דורשים כי *R יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי , או אם , כאשר הוא אידאל ראשוני, על ידי .

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

יהי חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם אז , וכמו כן נניח כי . על הקבוצה נחשוב כעל קבוצת שברים . נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי אם קיים כך ש . אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- , בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה ואיבר היחידה יהיה . (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - , עם ).

על קבוצת המנה נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של .

ההעתקה הנתונה על ידי היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג אחר עם מונומורפיזם וכך שתמונות איברי הפיכים ב , אז בהכרח קיים מונומורפיזם . כך ש- , כאשר הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את על פי הכלל: . קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - .

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים . יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים , ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם אידאל, גם אידאל. בכיוון ההפוך, אם אידאל, אז עבור . כלומר, יש התאמה בין אידאלים של החוג לאידאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם אידאל ו-, אז (כי יש בו איבר הפיך).

אם חוג נותרי או ארטיני, כך גם .

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים אם ורק אם . אם נשכח מכל האידאלים שחותכים את , נקבל שיש התאמה חד חד ערכית .

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו עם אידאל ראשוני , מתקבל החוג . האידאל המקסימלי הוא .

דוגמאות

  • יהי R תחום שלמות, ותהי . במקרה זה הוא שדה השברים של R.
  • אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של (חוג הפולינומים) מכיל עותק של , ושווה לשדה השברים של .
  • אם ו- כאשר ראשוני, נקבל כי , והאידאל המקסימלי שלו הוא .
  • אם חוג שלם מעל (כלומר, כל איבר של הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-) אז שלם מעל לכל כנ"ל.

ראו גם