ספקטרום של חוג

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, ספקטרום של חוג R הוא מרחב טופולוגי שהנקודות שלו הן האידאלים הראשוניים של החוג. המרחב הזה, במיוחד כאשר R קומוטטיבי, מגשר בין המבנה האלגברי של החוג למבנים גאומטריים המתאימים לו, והוא מוביל להגדרה של סכמות, שהן מושא המחקר הבסיסי של הגאומטריה האלגברית המודרנית.

הספקטרום הוא תמיד מרחב קומפקטי המקיים את תכונת ההפרדה T0.

טופולוגיית זריצקי

את אוסף האידאלים הראשוניים של R מסמנים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Spec}(R)} . הקבוצות הסגורות במרחב הזה הן הקבוצות , לכל אידאל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} של החוג (זוהי אכן טופולוגיה, משום שהאוסף הזה סגור לאיחוד סופי ולחיתוך כלשהו: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V_I \cup V_J = V_{IJ}} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcap V_{I_i} = V_{\sum I_i}} ).

הטופולוגיה רחוקה מלהיות מטרית. לדוגמה, היא מקיימת את תכונת ההפרדה T1 רק כאשר כל אידאל ראשוני הוא אידאל מקסימלי. הסגור של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{P\}} שווה ל- (לכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} היא "נקודה גנרית" של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V_P} ). הקבוצות הראשיות הפתוחות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(x) = \left\{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R) \ : \ \mathfrak{p} \not\ni x \right\}} מהוות בסיס לטופולוגיה.

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P_1,P_2,\dots} סדרה של ראשוניים, אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}P_n \subseteq Q} (אותה נוסחה נכונה גם לרשתות). בפרט, הסדרה הקבועה P מתכנסת ל-Q אם ורק אם .

הספקטרום של חוג קומוטטיבי

בחוג הפולינומים (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k} שדה סגור אלגברית), כל אידאל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I} מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I} מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני; ראו בערך יריעה אלגברית. אל היריעות אלו אפשר להתייחס כאל קבוצות מממד גבוה במרחב האפיני kn , בהכללה להתאמה של אידאלים מקסימליים (לפי משפט האפסים של הילברט) לנקודות, שממדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור כל חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו, הספקטרום, מגדירים טופולוגיה מתאימה (הכללה של טופולוגיית זריצקי), ואלומה של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של מרחב מחויג מקומית. מרחב זה נקרא הספקטרום של החוג, או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרה של סכימות.

סכמה אפינית

סכמה אפינית היא מרחב טופולוגי מחויג מקומית המצויד בטופולוגיית זריצקי עם אלומה של חוגים. סכמה אפינית ניתנת להצגה כספקטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , כלומר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = \operatorname{Spec}(R)} כאשר אלומת המבנה שלו מוגדרת על בסיס לטופולוגיה של קבוצות פתוחות ראשיות באופן הבא

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_X \left( D(f) \right) = R_f}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_f = S^{-1}R} הוא הלוקליזציה של במערכת הכפלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \{ 1, f, f^2, f^3, ... \}} . הנבט של כל אלומה כזאת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_{X,x}} בכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} היא חוג מקומי שבו אידאל מקסימלי יחיד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{m}_x} שהוא, באופן אינטואיטיבי, אוסף איברי החוג שמתאפסים בנקודה x. למנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_x = \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x} קוראים "שדה השארית ב-x".