מונואיד חופשי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מונואיד חופשי הינו מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה במאפיינת אובייקטים חופשיים.

הגדרה

קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי הינו רביעיה סדורה של קבוצה , פעולה , איבר , וקבוצה נוספת כך ש מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

  1. לכל מונואיד, ולכל פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד כך שמתקיים כאשר העתקת ההכלה (כלומר ). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה . כל ההומומורפיזמים של המונואיד נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי .[1]
  2. יוצרת את , וגם לכל מספר טבעי ולכל מתקיים: . ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה . אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.[1]

דוגמאות

המספרים הטבעיים

הדוגמא הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר ), ו מהווה את .

כלומר הקבוצה מכילה מספרים כמו וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: וכו'. וכמובן, ניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

כוכב קלין

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – כוכב קלין

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים מסומן ב- ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו- המהווה את הקבוצה . לדוגמא אם אז מכיל איברים כגון וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמא באופן הבא: .[2]

תתי-מונואידים של המונואיד החופשי

הגדרת תת-מונואיד

יהי מונואיד. אומרים כי תת-מונואיד של אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

  1. .
  2. אם אזי .
  3. .

חיתוך של תתי-מונואידים

משפט: יהי מונואיד חופשי. תהי קבוצה של תתי-מונואידים של כך שלכל מתקיים כי מונואיד חופשי. אזי מתקיים מונואיד חופשי.[1]

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא מונואיד חופשי בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 words, ‏02
  2. ^ Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland, American Mathematical Soc., 2005. (באנגלית)
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0