מספר סטירלינג
מספרי סטירלינג (על שם המתמטיקאי הסקוטי ג'יימס סטירלינג) הם מספרים דמויי המקדמים הבינומיים, המופיעים במגוון בעיות קומבינטוריות..
ישנן שתי משפחות של מספרי סטירלינג:
- מספרי סטירלינג מהסוג הראשון הם המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_1(n,k)} המתקבלים מן הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x)_n=\sum_{k\,=\,0}^nS_1(n,k)x^k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)} .
- מספרי סטירלינג מהסוג השני הם המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2(n,k)} המתקבלים מן הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^n=\sum_{k\,=\,0}^nS_2(n,k)(x)_k} .
- בניגוד לקודמיהם, אלה ניתנים לחישוב באמצעות הסכום
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i\,=\,0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n=\sum_{i\,=\,0}^k\frac{(-1)^{k-i}}{i!(k-i)!}i^n}
מהשוואת המונום העליון נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_1(n,n)=S_2(n,n)=1} .
למספרים אלה יש משמעות קומבינטורית.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{n-k}S_1(n,k)}
הוא מספר התמורות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n}
איברים שיש להן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k}
מחזורים. למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_1(4,2)=11}
כי יש 8 תמורות שמבנה המחזורים שלהן הוא 3+1, ועוד 3 שהמבנה שלהן הוא 2+2.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2(n,k)}
הוא מספר הדרכים לפרק קבוצה בת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n}
עצמים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k}
תת-קבוצות לא-ריקות. למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2(4,2)=7}
משום שיש שבע דרכים לפרק קבוצה בת 4 איברים לשני חלקים: ארבע שבהן יש בקבוצה אחת איבר יחיד ובשנייה שלושה, ועוד שלוש שבהן יש בכל חלק שני איברים. מספרי סטירלינג מהסוג השני מקיימים את נוסחת הרקורסיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2(n,k)=S_2(n-1,k-1)+kS_2(n-1,k)}
.
סדרת המונומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,x,x^2,\ldots} מהווה בסיס סטנדרטי לחוג הפולינומים במשתנה אחד. גם הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x)_0=1,(x)_1,(x)_2,\ldots} מהווים בסיס למרחב הזה, והמטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (S_1),(S_2)} הן מטריצות מעבר מהבסיס הראשון לשני ובחזרה, בהתאמה. לכן הן הפוכות זו לזו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (S_1)(S_2)=(S_2)(S_1)=1} , ומכאן הזהויות
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k\,=\,j}^nS_1(n,k)S_2(k,j)=\sum_{k\,=\,j}^nS_2(n,k)S_1(k,j)=\delta_{jn}}
לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j\le n} .
לקריאה נוספת
- Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994, pp. 257-267
מספר סטירלינג39932695Q80918