מערכת לינארית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מערכת לינארית היא מערכת הניתנת לתיאור על ידי אופרטור לינארי. פונקציה אחת, הנקראת מוצא המערכת, שווה להעתקה לינארית של פונקציה אחרת, הנקראת הכניסה למערכת. פעמים רבות המשתנה התלוי של הפונקציה הוא הזמן. במקרה כזה מערכות לינאריות בזמן רציף מתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות לינאריות ומערכות בזמן בדיד על ידי משוואות הפרשים לינאריות.

הלינאריות של מערכת מתבטאת בעקרון הסופרפוזיציה. אם המערכת מתוארת על ידי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y(t)=O(x(t))}

כאשר O אופרטור לינארי, אזי לכל שתי כניסות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1(t)} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_2(t)} ולכל שני סקלרים c1 ו-c2 מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ O(c_1x_1(t)+c_2x_2(t))=c_1O(x_1(t))+c_2O(x_2(t))=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)}

תגובת הלם

פונקציית התגובה להלם של מערכת לינארית היא יציאת המערכת עבור כניסה בצורת פונקציית דלתא של דיראק, הנקראת הלם:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t) = \delta(t-t_1) \,}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(t_1,t_2) \equiv y(t) |_{t=t_2}= O(\delta(t-t_1))_{t=t_2}}

זוהי פונקציית גרין של המערכת, ולפי משפט גרין היא קובעת את מוצא המערכת לכל כניסה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(t)} , לפי:

מערכות לינאריות בלתי משתנות בזמן

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
אפיון מערכות במישור הזמן ובמישור התדר

מערכת לינארית בלתי משתנה בזמן (באנגלית: Linear Time-Invariant, ובקיצור: מערכת LTI) היא מערכת לינארית שבה גם מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y(t+\tau)=O(x(t+\tau))}

לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} . האופרטור O בהכרח בלתי תלוי מפורשות בזמן (כלומר, אינו תלוי במשתנה t אלא דרך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(t)} ). מערכת כזו יכולה להיות המתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית לינארית מהצורה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d^n y}{dt^n} + A_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_1\frac{dy}{dt} + A_0y(t) = B_m\frac{d^m x}{dt^m} + B_{m-1}\frac{d^{m-1}x}{dt^{m-1}} + \cdots + B_1\frac{dx}{dt} + B_0x(t)}

כאשר המקדמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1...A_n, B_0...B_m} הם קבועים שאינם תלוים בזמן, בניגוד למערכת לינארית כללית המתוארת על ידי משוואה שיכולה להשתנות בזמן.

במערכת לינארית בלתי משתנה בזמן, התגובה להלם תלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת ההלם ולא ברגע ההלם עצמו. כתוצאה מכך, תגובת ההלם היא פונקציה רק של ההפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר של משתנה אחד. מוצא המערכת הוא קונבולוציה בין תגובת ההלם לכניסה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(t) = x(t) * h(t) = \ \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau}

תכונה זו הופכת מערכות LTI לנוחות במיוחד לניתוח במישור המרוכב. לפי משפט הקונבולוציה, מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(s) = H(s)X(s)}

כאשר הפונקציות המסומנות באותיות הגדולות הן התמרת לפלס של הפונקציות המסומנות באותיות הקטנות. המכפלה שלהן פשוטה לחישוב הרבה יותר מאשר הקונבולוציה. הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(s)} נקראת פונקציית התמסורת של המערכת והיא ניתנת לחישוב בקלות על ידי לקיחת התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, שהופכת כך למשוואה אלגברית. במידה וקיימת התמרת פורייה מתכנסת, ההתמרה של תגובת ההלם, הנקראת תגובת התדר של המערכת, מסומנת וניתנת לחישוב גם על ידי הצבת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=i\omega} בפונקציית התמסורת. תיאור כזה של מערכת לינארית נקרא תיאור במישור התדר, לעומת תיאור המערכת באמצעות תגובת ההלם שלה, הנקרא תיאור במישור הזמן.

מערכות לינאריות בזמן בדיד

מערכות בזמן בדיד מתוארות על ידי סדרות המקיימות משוואת הפרשים. פונקציית ההלם בזמן בדיד מוגדרת:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta[n]={\begin{cases} 1 & n=0 \\ 0 & n\ne0 \end{cases}}}

ופונקציית התמסורת של מערכת לינארית בלתי משתנה בזמן היא התמרת Z של סדרת התגובה להלם, השווה ליחס בין התמרות Z של סדרת המוצא והכניסה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(z)={Y(z) \over X(z)}}