מערכת שטיינר

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

מישור פאנו המגדיר מערכת S(2,3,7)

מערכת שטיינר עם פרמטרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t,k,n} היא מבנה קומבינטורי סימטרי הכולל תת-קבוצות בגודל $k$, הקרויות בלוקים, של קבוצה בגודל $n$, באופן שכל $t$ נקודות מוכלות בבלוק יחיד. מערכת כזו נקראת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(t,k,n)} . . מערכות כאלה קרויות על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב שטיינר שחי במאה התשע עשרה.

כל גאומטריה סופית (אפינית או פרויקטיבית) היא מערכת שטיינר, שבה הבלוקים הם ישרים, וכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=2} נקודות מוכלות בישר יחיד. ההכללה שבה כל קבוצה בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} מוכלת במספר קבוע של בלוקים (ולאו דווקא בבלוק יחיד) נקראת "תכנון בלוקים" (בסימון זה, מערכת שטיינר היא תכנון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t-(k,n,1)} ).

למערכות שטיינר יש השלכות בתורת הקודים ובתורת החבורות הסופיות, דרך חבורות הסימטריות שלהן. קשה לבנות אותן, ולא ידוע מיון שלם שלהן. בין השאלות הטבעיות בהקשר זה: מהן שלשות הפרמטרים עבורן קיימת מערכת שטיינר; בהינתן שלשת פרמטרים, האם יש מערכת מתאימה; ואם כן, האם היא יחידה.

אם זורקים נקודה ממערכת קיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(t,k,n)} ושומרים רק את הבלוקים שעברו דרכה, מתקבלת מערכת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(t-1,k-1,n-1)} . הכיוון ההפוך (הוספת נקודה למערכת קיימת) בדרך כלל בלתי אפשרי. קל להראות שבמערכת שטיינר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(t,k,n)} יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = \frac{\binom{n}{t}}{\binom{k}{t}}} בלוקים בסך-הכל, ושדרך כל נקודה עוברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = \frac{\binom{n-1}{t-1}}{\binom{k-1}{t-1}}} בלוקים; אם המערכת קיימת, המספרים האלו חייבים כמובן להיות שלמים, והם מקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle bk=rn} . בעיית הקיום של מערכת שטיינר $S(2,6,36)$ היתה ידועה בשם בעיית הקצינים של אוילר; למרות שהשלשה (2,6,36) מקיימת את תנאי הקיום האריתמטי, מערכת כזו אינה קיימת (G. Tarry, 1900). משפט הקיום של וילסון (Richard Wilson) קובע שעבור פרמטרים גדולים מספיק, לכל שלשה המקיימת את תנאי ההתחלקות קיימות מערכות שטיינר מתאימות [1].

בגאומטריה האפינית המישורית מעל השדה הסופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}_q} יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^2} נקודות, שדרך כל שתיים מהן עובר ישר יחיד, עליו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} נקודות. לכן אוסף הישרים מהווה מערכת שטיינר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(2,q,q^2)} . בדומה לזה, קבוצת הישרים במישור הפרויקטיבי מעל אותו שדה היא מערכת שטיינר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(2,q+1,q^2+q+1)} . קבוצת המישורים במרחב האפיני ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}_2^n} היא מערכת שטיינר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(3,4,2^n)} (משום שדרך כל שלוש נקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,z} עובר מישור יחיד, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x,y,z,x+y+z\}} ).

מערכת שטיינר עם הפרמטרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=2} ו-$k=3$ נקראת מערכת שטיינר משולשת. קיימת מערכת כזו על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נקודות אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \equiv 1, 3 \pmod{6}} . מערכת שטיינר המשולשת היחידה בגודל n=7 היא מישור פאנו. מערכת שטיינר המשולשת היחידה בגודל n=9 היא המישור האפיני מעל השדה מסדר 3. מערכת שטיינר משולשת שבה כל שתי שלשות נחתכות מוכלות בתת-מערכת בגודל 9 נקראת מערכת הול משולשת.

חבורות הסימטריה של כמה מערכות שטיינר מיוחדות (הנוצרות מן המערכות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(5,6,12)} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(5,8,24)} ) הן חבורות פשוטות ספורדיות הקרויות חבורות מתיו.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מערכת שטיינר בוויקישיתוף

• מערכת שטיינר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מערכת שטיינר35661980Q4420916